Chapitre 7 – Probabilité sur un ensemble fini
Étapes du calcul : définition de E (X) ; la somme démarre à k = 1 ;
recours aux factorielles ; mise en facteur de n et changement de variable
i = k − 1 ; mise en facteur de p ; formule du binôme.
• Pour le calcul de V (X), on écrit :
V (X) = E
X
2
− [E (X)]
2
= E (X (X − 1) + X) − [E (X)]
2
= E (X (X − 1)) + E (X) − [E (X)]
2
et on calcule E (X (X − 1)) par le théorème de transfert, de façon analogue au calcul de E (X).
• X → B (n, p) ssi X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes et de même loi B (1, p). En effet, si X → B (n, p), alors
X =
n
i=1
X i avec X i =
1 si succès à la i
ème épreuve
0 sinon
et les X i sont indépendantes car les épreuves le sont.
Réciproquement, si X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p, alors X compte le nombre de succès
(X i = 1) lors de n épreuves identiques et indépendantes, la probabilité
du succès à chaque épreuve étant p, et donc X → B (n, p).
• On utilise cette propriété pour calculer facilement E (X) et V (X) avec
X → B (n, p) :
− d’après la linéarité de l’espérance :
E (X) = E
n
i=1
X i
=
n
i=1
E (X i ) =
n
i=1
p = np
− les v.a X i sont indépendantes, donc :
V (X) = V
n
i=1
X i
=
n
i=1
V (X i ) =
n
i=1
p (1 − p) = np (1 − p)
• Démontrons le résultat sur la stabilité de la loi binomiale, ce qui est
une occasion de déterminer la loi d’une somme.
Soit X → B (n, p) , Y → B (m, p) , X et Y indépendantes, et Z = X +Y .
Z prend ses valeurs dans 0, n + m, et, pour tout k ∈ 0, n + m,
(Z = k) =
k
i=0
[(X = i) ∩ (Y = k − i)]
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