Partie 3 – Probabilités
4.2 Loi binomiale
Soit n ∈ N ∗ , p ∈ ]0 ; 1[. On dit que la v.a X suit la loi binomiale
de paramètres n, p, et on note X → B (n, p), ssi
X (V) = 0, n ; ∀k ∈ 0, n, P (X = k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k
Modèle. X est le nombre de succès lors de n épreuves identiques et
indépendantes, la probabilité du succès à chaque épreuve étant p.
Espérance, variance
E (X) = np ; V(X) = np (1 − p)
Loi binomiale et loi de Bernoulli. X → B (n, p) ssi X est la
somme de n variables de Bernoulli indépendantes et de même loi
B (1, p).
Stabilité. Si X → B (n, p) , Y → B (m, p) , X et Y indépendantes,
alors
X + Y → B (n + m, p)
• L’obtention de la loi de X à partir du modèle est relativement difficile :
(X = k) est la réunion de
n
k
événements incompatibles : chacun de ces
événements est une suite de n épreuves parmi lesquelles il y a k succès ;
il y a
n
k
telles suites, autant que de manières de choisir les k épreuves
parmi n qui amènent le succès ; et chacune de ces suites est de probabilité
p
k (1 − p)
n−k , par indépendance des épreuves.
D’autre part les situations qui amènent à une loi binomiale sont très
fréquentes. C’est pourquoi il convient d’avoir à l’esprit et la loi et le
modèle.
• Démontrons le résultat sur l’espérance (on note q = 1 − p) :
E (X) =
n
k=0
kP (X = k) =
n
k=1
k
n
k
p
k q
n−k
=
n
k=1
n
n − 1
k − 1
p
k q
n−k
= n
n−1
i=0
n − 1
i
p
i+1 q
n−1−i
= np
n−1
i=0
n − 1
i
p
i q
n−1−i
= np(p + q)
n−1
= np
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