Chapitre 7 – Probabilité sur un ensemble fini
Démonstration. Le polynôme en l
P (l) = V (lX + Y ) = l
2 V (X) + 2lCov (X, Y ) + V (Y )
est positif ou nul ; son discriminant est donc négatif ou nul ; on en déduit
[Cov (X, Y )]
2
V (X) V (Y )
d’où le premier résultat. Il y a égalité ssi le polynôme P admet une racine
l, ssi il existe c tel que lX + Y = c, avec l = −
Cov(X,Y )
V(X) , d’où le
deuxième résultat. Si X, Y sont indépendantes, alors Cov (X, Y ) = 0,
d’où le troisième résultat.
4. Lois finies usuelles
4.1 Loi de Bernoulli
Soit p ∈ ]0 ; 1[. On dit que la v.a X suit la loi de Bernoulli de
paramètre p, et on note X → B (1, p), ou X → B (p), ssi
X (V) = {0 ; 1} ; P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1 − p
Espérance, variance
E (X) = p ; V(X) = p (1 − p)
On dit que la v.a X est une variable de Bernoulli ssi X (V) = {0 ; 1}.
X suit alors la loi B (1, p), avec p = P (X = 1).
La variable indicatrice 1 A de l’événement A (ni certain, ni impossible), définie par
1 A =
1 si A est réalisé
0 sinon
est une variable de Bernoulli de paramètre P (A).
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux
issues possibles : le succès et l’échec. La variable indicatrice du succès est
alors une variable de Bernoulli de paramètre la probabilité du succès.
Simulation informatique. On utilise la fonction random, qui retourne
un nombre aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1] : si X suit une
telle loi et x ∈ [0 ; 1], alors P (X x) = x (voir § 9.2.1).
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