Partie 3 – Probabilités
Propriétés
• V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov (X, Y ).
• Cov (X, Y ) est de signe de quelconque.
• On a aussi Cov (X, Y ) = E ([X − E (X)] [Y − E (Y )]).
• Si X, Y, Z sont des v.a sur V fini, et si a est un nombre réel, on a
− Cov (X, X) = V (X) ;
− Cov (X, Y ) = Cov (Y, X) ;
− Cov (X + Y, Z) = Cov (X, Z) + Cov (Y, Z) ;
− Cov (X, Y + Z) = Cov (X, Y ) + Cov (X, Z) ;
− Cov (aX, Y ) = Cov (X, aY ) = a Cov (X, Y ).
• La formule V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov (X, Y ) permet le calcul
de Cov (X, Y ), si les variances de X, Y et X + Y sont connues :
Cov (X, Y ) =
1
2
(V (X + Y ) − V (X) − V (Y ))
• Cas de deux variables indépendantes
Soient X, Y deux va finies indépendantes. On a alors les propriétés suivantes, équivalents entre elles :
E (XY ) = E (X) E (Y )
Cov (X, Y ) = 0
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
Les réciproques sont fausses. La covariance de deux v.a finies non
indépendantes peut être égale à 0. On peut juste dire que si la covariance
de (X, Y ) est différente de 0, alors X, Y ne sont pas indépendantes.
3.4 Coefficient de corrélation linéaire
Définition. Soit X, Y deux va finies, non certaines. Le coefficient de
corrélation linéaire de X, Y est le nombre réel r X,Y défini par
r X,Y =
Cov (X, Y)
s (X) s (Y)
Propriétés
• |r X,Y | 1 ;
• si |r X,Y | = 1, alors il existe a, b réels tels que Y = aX + b, et a est
du signe de r.
• Si X, Y sont indépendantes, alors r X,Y = 0. La réciproque est fausse.
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