Chapitre 7 – Probabilité sur un ensemble fini
probabilités totales. Avec le sce
Y = y j
yj∈Y (V)
, on a
∀x i ∈ X (V) , P (X = x i ) =
xi∈X(V)
P
(X = x i ) ∩
Y = y j
et de même pour P
Y = y j
, avec le sce (X = x i ) xi∈X(V) .
• Pour y j fixé, la loi conditionnelle de la variable X sachant
Y = y j
,
notée X/
Y = y j
, est donnée par
P (Y=yj) (X = x i ) =
P
(X = x i ) ∩
Y = y j
P
Y = y j
et de même pour la loi de la variable Y sachant (X = x i ) .
3.2 Théorème de transfert
Soit X, Y deux va finies, w une fonction de deux variables définie
sur X (V) × Y (V).
Alors
E (w (X, Y )) =
(xi,yj)∈X(V)×Y(V)
w
x i , y j
P
(X = x i ) ∩
Y = y j
En particulier,
E (XY ) =
xi∈X(V),yj∈Y (V)
x i y j P
X = x i , Y = y j
3.3 Covariance
Soit X, Y deux v.a finies. Pour calculer V (X + Y ), on peut utiliser le
théorème de Koenig-Huygens.
L’identité remarquable (a + b)
2
= a
2 + 2ab + b
2 , et la linéarité de l’espérance fournissent alors :
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 [E (XY ) − E (X) E (Y )]
Ceci amène à poser la définition suivante.
Définition. Soit X, Y deux v.a finies. La covariance de (X, Y ) est le
nombre réel
Cov (X, Y ) = E (XY ) − E (X) E (Y )
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