Chapitre 7 – Probabilité sur un ensemble fini
uniforme sur 1, n, car 1 k n ⇔ a k + a − 1 b, et
∀k ∈ 1, n, P (X = k) = P (Y = k + a − 1) =
1
n
On a alors Y = X + a − 1, et des formules E (aX + b) = aE (X) + b et
V (aX + b) = a
2 V (X), on déduit facilement les valeurs
E (Y ) =
a + b
2
; V(Y ) =
(b − a) (b − a + 2)
12
Simulation informatique. ÖÖÒÒÓÑ´Òµ retourne un nombre aléatoire suivant la loi uniforme sur {0, . . . , n − 1}. On en déduit la
simulation d’une v.a de loi uniforme sur {a, . . . ,b} :
ÙÒÒØØÓÒ ÙÒÒÒ´´¸¸ ÒØØØØÖµ ÒØØØØÖ
Ò ÙÒÒÒÒÒÒ·ÖÖÒÒÓÑ´´¹¹·½µµ ÒÒÒ
• Soit X 1 , · · · , X m des v.a suivant la loi uniforme sur 1, n, et indépendantes. Pour déterminer la loi du maximum M de ces variables, on
commence par déterminer la probabilité P (M k), pour 1 k m :
P (M k) = P
m
i=1
(X i k)
=
m
i=1
P (X i k) =
k
n
m
en utilisant l’indépendance des X i . De
(M k − 1) ∪ (M = k) = (M k)
on déduit, par additivité (valable avec k = 1) :
P (M = k) = P (M k) − P (M k − 1) =
k
n
m
−
k − 1
n
m
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uniforme sur 1, n, car 1 k n ⇔ a k + a − 1 b, et
∀k ∈ 1, n, P (X = k) = P (Y = k + a − 1) =
1
n
On a alors Y = X + a − 1, et des formules E (aX + b) = aE (X) + b et
V (aX + b) = a
2 V (X), on déduit facilement les valeurs
E (Y ) =
a + b
2
; V(Y ) =
(b − a) (b − a + 2)
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Simulation informatique. ÖÖÒÒÓÑ´Òµ retourne un nombre aléatoire suivant la loi uniforme sur {0, . . . , n − 1}. On en déduit la
simulation d’une v.a de loi uniforme sur {a, . . . ,b} :
ÙÒÒØØÓÒ ÙÒÒÒ´´¸¸ ÒØØØØÖµ ÒØØØØÖ
Ò ÙÒÒÒÒÒÒ·ÖÖÒÒÓÑ´´¹¹·½µµ ÒÒÒ
• Soit X 1 , · · · , X m des v.a suivant la loi uniforme sur 1, n, et indépendantes. Pour déterminer la loi du maximum M de ces variables, on
commence par déterminer la probabilité P (M k), pour 1 k m :
P (M k) = P
m
i=1
(X i k)
=
m
i=1
P (X i k) =
k
n
m
en utilisant l’indépendance des X i . De
(M k − 1) ∪ (M = k) = (M k)
on déduit, par additivité (valable avec k = 1) :
P (M = k) = P (M k) − P (M k − 1) =
k
n
m
−
k − 1
n
m
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