Chapitre 7 – Probabilité sur un ensemble fini
• L’écart-type s (X) est la racine carrée de la variance :
s (X) =
V (X)
Propriétés
• Pour toute v.a X sur V, V (X) 0.
Si V (X) = 0, alors X est une v.a certaine :
X (V) = {c} ; P(X = c) = 1
• Soit X une v.a finie, et a, b deux nombres réels. Alors
V (aX + b) = a
2 V (X)
Démonstration : Avec Y = aX + b, on a Y − E (Y ) = a (X − E (X)),
donc (Y − E (Y ))
2
= a
2 (X − E (X))
2 , donc
V (aX + b) = V (Y ) = E
(Y − E (Y ))
2
= a
2 E
(X − E (X))
2
d’où le résultat.
• Théorème de Koenig-Huygens
Soit X une v.a définie sur V fini.
Alors
V (X) =
xi∈X(V) x i
2 P (X = x i ) − [E (X)]
2
Démonstration : on développe (x i − E (X))
2 , puis on utilise les règles de
calcul sur le signe
.
D’après le théorème de transfert, on a donc :
V (X) = E
X
2
− [E (X)]
2
La variance est égale à la moyenne des carrés diminuée du carré de
la moyenne.
• Variance d’une somme de 2 v.a finies
Soit X et Y deux v.a définies sur V fini.
− Si X et Y sont indépendantes, alors
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
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