Partie 3 – Probabilités
Un cas particulier d’utilisation fréquente :
Si X (V) ⊂ 0, n, E (X) =
n
k=0
kP (X = k)
Propriétés
• Linéarité de l’espérance
Soit X et Y deux v.a définies sur V fini et a, b deux nombres réels.
Alors
E (X + Y ) = E (X) + E (Y )
E (aX + b) = aE (X) + b
L’espérance est donc une forme linéaire sur l’espace vectoriel des v.a
définies sur V fini, voir chapitre 5.
• Théorème de transfert
Soit X une v.a définie sur V fini, et w une application définie sur
X (V). Alors
E (w (X)) =
xi∈X(V)
w (x i ) P (X = x i )
En particulier, pour r ∈ N ∗ ,
E (X
r ) =
xi∈X(V)
x i
r P (X = x i )
m r (X) = E (X r ) est appelé moment d’ordre r de X.
2.5 Variance, écart-type
Définitions
• soit X une v.a définie sur V fini. La variance de X est le nombre réel
noté V (X) et défini par :
V (X) =
xi∈X(V)
[x i − E (X)]
2 P (X = x i )
D’après le théorème de transfert, on a
V (X) = E
[X − E (X)]
2
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
184
Un cas particulier d’utilisation fréquente :
Si X (V) ⊂ 0, n, E (X) =
n
k=0
kP (X = k)
Propriétés
• Linéarité de l’espérance
Soit X et Y deux v.a définies sur V fini et a, b deux nombres réels.
Alors
E (X + Y ) = E (X) + E (Y )
E (aX + b) = aE (X) + b
L’espérance est donc une forme linéaire sur l’espace vectoriel des v.a
définies sur V fini, voir chapitre 5.
• Théorème de transfert
Soit X une v.a définie sur V fini, et w une application définie sur
X (V). Alors
E (w (X)) =
xi∈X(V)
w (x i ) P (X = x i )
En particulier, pour r ∈ N ∗ ,
E (X
r ) =
xi∈X(V)
x i
r P (X = x i )
m r (X) = E (X r ) est appelé moment d’ordre r de X.
2.5 Variance, écart-type
Définitions
• soit X une v.a définie sur V fini. La variance de X est le nombre réel
noté V (X) et défini par :
V (X) =
xi∈X(V)
[x i − E (X)]
2 P (X = x i )
D’après le théorème de transfert, on a
V (X) = E
[X − E (X)]
2
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
184