Chapitre 7 – Probabilité sur un ensemble fini
2.2 Propriétés
• La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas)
de deux v.a définies sur le même ensemble V est une v.a.
• Si f est une fonction définie sur X (V), alors la composée f ◦ X est
une v.a définie sur V.
• L’ensemble des v.a définies sur V est un ev pour les opérations
X + Y (somme de deux v.a), aX (produit d’une v.a par un nombre
réel). Voir § 5.1.2.
2.3 Indépendance de variables aléatoires
Définitions
• Deux va finies X, Y sont dites indépendantes ssi :
∀x ∈ X (V) , ∀y ∈ Y (V) ,
P ((X = x) ∩ (Y = y)) = P (X = x) P (Y = y)
• Les v.a X 1 , X 2 , · · · , X n sont dites indépendantes (ou mutuellement
indépendantes) ssi :
∀x 1 ∈ X 1 (V) , ∀x 2 ∈ X 2 (V) , · · · , ∀x n ∈ X n (V) ,
P
n
i=1
(X i = x i )
=
n
i=1
P (X i = x i )
Propriétés
• Si les v.a X 1 , · · · , X n sont indépendantes, alors elles sont indépendantes
deux à deux. La réciproque est fausse.
• Si X 1 , · · · , X n sont indépendantes, alors toute fonction de X 1 , · · · , X p
est indépendante de toute fonction de X p+1 , · · · , X n , 1 p < n. En
particulier, si X, Y sont indépendantes, alors toute fonction de X est
indépendante de toute fonction de Y .
2.4 Espérance, ou moyenne
Définition. Soit X une v.a définie sur V fini. L’espérance, ou moyenne,
de X est le nombre réel noté E (X) et défini par
E (X) =
xi∈X(V)
x i P (X = x i )
Cette définition est à rapprocher de la définition de la moyenne
d’une série statistique : la fréquence de la valeur observée x i de la
variable statistique X est remplacée par la probabilité de la valeur x i
pour la v.a X.
183