Partie 3 – Probabilités
Propriétés
• Si les événements A 1 , . . . , A n sont indépendants, alors il en est de
même des événements B 1 , . . . , B n , avec B i = A i ou B i = A i .
• Les événements ∅ et V sont indépendants de tout événement A.
• Si les événements A 1 , . . . , A n sont indépendants, alors ils sont deux à
deux indépendants. La réciproque est fausse.
Ne confondez pas indépendance et incompatibilité. L’indépendance
est une notion probabiliste, pas l’incompatibilité. Si deux événements sont incompatibles, ils ne sont pas indépendants, et s’ils sont
indépendants, ils ne sont pas incompatibles, à moins que l’un des
deux ne soit de probabilité nulle.
2. Variables aléatoires sur un ensemble fini
2.1 Définitions
• Soit V, P (V) , P) un espace probabilisé fini. Une variable aléatoire
est une application de V dans R.
Une variable aléatoire (v.a) est donc une observation numérique sur le
résultat d’une expérience aléatoire.
On parlera au besoin d’une v.a finie pour préciser que V est fini.
• Pour tout x ∈ R, l’événement
X
−1 (x) = {v ; v ∈ V, X (v) = x}
est noté, de façon plus parlante, (X = x).
• On note de même (X x) , (a X b). . .
• X (V) est l’ensemble des valeurs prises par X.
• Déterminer la loi de probabilité de X, c’est déterminer X (V),
et, pour chaque x i ∈ X (V), déterminer la probabilité P (X = x i ).
• Réciproquement, soit {(x i , p i ) ; i ∈ I} un ensemble fini de couples
de nombres réels. Pour vérifier que cet ensemble est la loi de probabilité d’une v.a finie X, avec P (X = x i ) = p i , il suffit de vérifier :
− ∀i ∈ I, p i 0 ;
−
i∈I
p i = 1.
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