Introduction
3.2 Règles de calcul
• Avec I fini inclus dans N, et a constante indépendante de i, on a
i∈I
(x i + y i ) =
i∈I
x i +
i∈I
y i
i∈I
ax i = a
i∈I
x i
• Avec n ∈ N ∗ , p ∈ N, p n (et a constante indépendante de i) :
n
i=1
a = na ;
n
i=0
a = (n + 1) a ;
n
i=p
a = (n − p + 1) a
Démonstration. La première propriété est une conséquence de la commutativité de l’addition. La deuxième propriété est une mise en facteur
commun. Pour les propriété suivantes, on compte combien la somme
contient de termes tous égaux à a.
• Si les x i sont des réels positifs, les y i des réels quelconques :
ln
i∈I
x i
=
i∈I
ln x i ; exp
i∈I
y i
=
i∈I
exp (y i )
• Si I est une partie finie de N × N, il s’agit en fait d’une « somme
double », qu’on décompose en somme de sommes :
(i,j)∈I
x i,j =
{i ; ∃j,(i,j)∈I}
⎛
⎝
{j ; (i,j)∈I}
x i,j
⎞
⎠ =
{j ; ∃i,(i,j)∈I}
⎛
⎝
{i ; (i,j)∈I}
x i,j
⎞
⎠
En particulier, on a, avec I = {(i, j) ; 1 i n et 1 j i}:
n
i=1
⎛
⎝
i
j=1
x i,j
⎞
⎠ =
n
j=1
⎛
⎝
n
i=j
x i,j
⎞
⎠
• Les règles de calcul ci-dessus sont les seules à retenir, et à utiliser.
Vous prendrez garde à ne pas en inventer d’autres, qui ont de bonnes
chances d’être fausses. Exemple : bien se persuader qu’en général
n
i=1
x i y i =
n
i=1
x i
n
i=1
y i
Avec n = 2, en effet, on aura x 1 y 1 + x 2 y 2 = (x 1 + x 2 ) (y 1 + y 2 ).
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