Techniques de base
• Par contre, il est vrai que
n
i=1
⎛
⎝
n
j=1
x i y j
⎞
⎠ =
n
i=1
x i
⎛
⎝
n
j=1
y j
⎞
⎠ =
n
i=1
x i
⎛
⎝
n
j=1
y j
⎞
⎠
(Mise en facteur de x i dans la somme
n
j=1 , puis mise en facteur de
n
j=1 .)
• Si vous êtes « bloqué(e) » dans un calcul comportant un
, une
possibilité est d’expliciter le
en question, sur le modèle
n
i=1
x i = x 1 + x 2 + · · · + x n
On écrit les deux ou trois premiers termes de la somme, puis le
dernier. Mais il faut faire attention alors que si n = 1, la somme ne
comporte quand même qu’un seul terme, le terme x 1 .
• Prenez bien garde au statut des variables en présence :
Dans la somme
n
i=1 x i , i est une variable muette : la valeur de
i n’intervient pas dans la valeur de la somme. On a par exemple
n
i=1 x i =
n
k=1 x k .
Dans cette même somme, n est une variable libre : la valeur de la
somme dépend a priori de la valeur de n. N’écrivez donc pas des
formules du type
n
i=1 x i = f (i) qui n’ont aucune chance d’être
vraies. . .
3.3 Sommes remarquables
On retient la valeur des sommes suivantes. n est un entier naturel non
nul, x un nombre réel.
n
k=1
k =
n (n + 1)
2
n
k=1
k
2
=
n (n + 1) (2n + 1)
6
n
k=1
k
3
=
n
2 (n + 1)
2
4
n
k=0
x
k
=
1 − x
n+1
1 − x
si x = 1
11