Techniques de base
L’implication « la série Su n converge ⇒ lim
n→+∞
u n = 0 » est vraie.
Sa contraposée est vraie, mais sa réciproque est fausse : la suite
1
n
n∈N ∗
converge vers 0, et la série
n∈N
1
n diverge (voir § 1.4.2).
Raisonnement par l’absurde
Pour montrer qu’une propriété P est vraie, on suppose qu’elle est fausse,
et on aboutit à une contradiction. On conclut alors que P est vraie.
Deux matrices (voir chap. 4) A et B sont données, B est non nulle et
AB = 0. On montre par l’absurde que A n’est pas inversible : pour
cela on suppose que A est inversible, et de AB = 0 on tire alors
A −1 AB = A −1 0, donc IB = 0, B = 0. Or B = 0 : contradiction,
A n’est pas inversible.
Mentionnons aussi le raisonnement par équivalence (utilisé dans la
résolution des équations) : on montre qu’une propriété est équivalente
à une propriété vraie, plus simple. Le raisonnement par analyse et
synthèse consiste à trouver des conditions nécessaires à l’existence d’un
objet (la solution d’une équation par exemple), puis à vérifier si ces
conditions nécessaires sont suffisantes.
3. Signes S , P
3.1 Définitions
Soit I un sous-ensemble fini de N ou de N × N. Les symboles
i∈I
x i ;
i∈I
x i
désignent respectivement la somme et le produit de tous les nombres
réels x i , avec i appartenant à I.
Cas particuliers, d’utilisation très fréquente :
n
i=1
x i = x 1 + x 2 + · · · + x n ;
n
i=0
x i = x 0 + x 1 + · · · + x n
Lire « sigma de i égal 1 à n des x indice i ». . . Notations analogues pour
le produit (lire « produit de i égal 1 à n. . . »).
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