Partie 3 – Probabilités
Avec X v.a tel que X (V) = {x 1 , . . . , x n }, les événements
(X = x 1 ) , (X = x 2 ) , . . . , (X = x n )}
constituent un sce. Voir § 7.2.
Formule des probabilités totales
Soit (A i ) i∈I , un sce de V. Alors, pour tout événement B de V :
P (B) =
i∈I
P (B ∩ A i ) =
i∈I
P Ai (B) P (A i )
Formule de Bayes
Avec A i0 un des éléments du sce (A i ) i∈I :
P B
A i0
=
P
A i0 ∩ B
P (B)
=
P Ai 0 (B) P
A i0
i∈I P Ai (B) P (A i )
Démonstration. Formule des probabilités totales : B est la réunion des
événements deux à deux incompatibles B ∩ A i . L’additivité de la probabilité donne le premier résultat. En appliquant la formule des probabilités
composées à chacune des probabilités P (B ∩ A i ), on obtient le deuxième
résultat.
Formule de Bayes : définition de la probabilité conditionnelle, puis formule des probabilités composées pour le numérateur, et formule des
probabilités totales pour le dénominateur. Remarquez que le numérateur est un des termes de la somme du dénominateur.
La formule de Bayes doit être considérée comme une conséquence
facile de la formule de probabilités totales. Pour appliquer celle-ci,
l’énoncé doit fournir (par les conditions de l’expérience aléatoire)
les probabilités P Ai (B) , P (A i ), et vous devez reconnaître le système
complet d’événements en jeu.
Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire au hasard un
jeton. Si on a obtenu le jeton n ◦ i, on lance i fois une pièce de monnaie
équilibrée. On cherche la probabilité de l’événement B : « on obtient
0 pile ».
Le sce est (A i ) 1in , avec A i : « obtenir le jeton n ◦ i » ; en effet, quelle
que soit l’issue de l’expérience, un et un seul des événements A i se
180