Chapitre 7 – Probabilité sur un ensemble fini
On rencontre la notation P B (A) = P
A/B
, dangereuse car elle laisse
penser que A/B serait un événement.
Utilisation
Formule des probabilités composées
• Si A est de probabilité non nulle :
P (A ∩ B) = P (A) P A (B)
• Si A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n−1 est de probabilité non nulle :
P (A 1 ∩ · · · ∩ A n ) = P (A 1 ) P A1 (A 2 ) · · · P A1∩···∩An−1 (A n )
• Un sac contient 5 jetons blancs et 4 jetons noirs. On tire au hasard
et sans remise 3 jetons du sac. La probabilité d’obtenir un jeton blanc,
puis un noir, puis un blanc, est, avec des notations évidentes :
P (B 1 ∩ N 2 ∩ B 3 ) = P (B 1 ) P B1 (N 2 ) P B1∩N2 (B 3 )
=
5
9
×
4
8
×
4
7
=
10
63
résultat qu’on peut établir directement par équiliprobabilité, en calculant Card (V) = 9 · 8 · 7, puis Card (B 1 ∩ N 2 ∩ B 3 ) = 5 · 4 · 4.
• Dans un jeu vidéo, la probabilité de franchir le niveau k (événement
N k ) quand on a franchi le niveau k − 1 est
1
k , pour k 1. On part du
niveau 0, et le jeu comporte n niveaux. La probabilité d’arriver au bout
du jeu est :
P (N 1 ∩ · · · ∩ N n ) = P (N 1 ) P N1 (N 2 ) · · · P N1∩···∩Nn−1 (N n )
= 1 ·
1
2
· . . . ·
1
n
=
1
n!
1.5 Formule des probabilités totales
Définition. Soit (V, P (V) , P) un espace probabilisé fini, I un ensemble
fini d’indices.
On dit que(A i ) i∈I est un système complet d’événements (sce) ssi :
• ∀i ∈ I, P (A i ) = 0 ;
• ∀i, j ∈ I, si i = j, A i ∩ A j = ∅ ;
•
i∈I
A i = V.
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