Chapitre 7 – Probabilité sur un ensemble fini
• Additivité
Si A 1 , . . . , A n sont des événements deux à deux incompatibles, alors
P
n
k=1
A k
=
n
k=1
P (A k )
• Formule du crible, ou Formule de Poincaré pour deux événements A, B :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
La formuledu crible se généralise :
− pour trois événements A 1 , A 2 , A 3 :
P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 )
− P (A 1 ∩ A 2 ) − P (A 1 ∩ A 3 ) − P (A 2 ∩ A 3 )
+ P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )
− pour n événements A 1 , . . . , A n , n 2 :
P
n
i=1
A i
=
n
k=1
(−1)
k−1
⎛
⎝
1i1<···
A i1 ∩ A i2 ∩ · · · ∩ A ik
⎞
⎠
La propriété d’additivité est d’usage constant. Pour déterminer la
probabilité d’un événement, on le décompose en réunion d’événements plus simples, et deux à deux incompatibles.
Vous écrirez par extrapolation la formule du crible pour 4 événements. La formule générale n’a pas à être mémorisée, l’énoncé
devrait vous la rappeler le cas échéant.
1.3 Exemples
Probabilité uniforme
Avec V fini non vide, l’application P définie sur P (V) par
P (A) =
Card (A)
Card (V)
= «
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
»
est une probabilité, la probabilité uniforme sur V.
On dit aussi qu’on est en situation d’équiprobabilité.
En situation d’équiprobabilité, on utilisera les formules de dénombrement vues au § 4 de l’Introduction, en commençant par déterminer
Card (V).
177
• Additivité
Si A 1 , . . . , A n sont des événements deux à deux incompatibles, alors
P
n
k=1
A k
=
n
k=1
P (A k )
• Formule du crible, ou Formule de Poincaré pour deux événements A, B :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
La formuledu crible se généralise :
− pour trois événements A 1 , A 2 , A 3 :
P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 )
− P (A 1 ∩ A 2 ) − P (A 1 ∩ A 3 ) − P (A 2 ∩ A 3 )
+ P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )
− pour n événements A 1 , . . . , A n , n 2 :
P
n
i=1
A i
=
n
k=1
(−1)
k−1
⎛
⎝
1i1<···
A i1 ∩ A i2 ∩ · · · ∩ A ik
⎞
⎠
La propriété d’additivité est d’usage constant. Pour déterminer la
probabilité d’un événement, on le décompose en réunion d’événements plus simples, et deux à deux incompatibles.
Vous écrirez par extrapolation la formule du crible pour 4 événements. La formule générale n’a pas à être mémorisée, l’énoncé
devrait vous la rappeler le cas échéant.
1.3 Exemples
Probabilité uniforme
Avec V fini non vide, l’application P définie sur P (V) par
P (A) =
Card (A)
Card (V)
= «
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
»
est une probabilité, la probabilité uniforme sur V.
On dit aussi qu’on est en situation d’équiprobabilité.
En situation d’équiprobabilité, on utilisera les formules de dénombrement vues au § 4 de l’Introduction, en commençant par déterminer
Card (V).
177