Chapitre 6 – Diagonalisation
Le pion est sur le sommet 1 au départ, donc C 0 =
⎛
⎜
⎝
1
0
0
0
⎞
⎟
⎠, donc PC 0 est
la première colonne de P, puis D
n PC 0 =
⎛
⎜
⎝
1
(1 − 4p)
n
(2p − 1)
n
(2p − 1)
n
⎞
⎟
⎠, puis
C n =
1
4
P
⎛
⎜
⎝
1
(1 − 4p)
n
(2p − 1)
n
(2p − 1)
n
⎞
⎟
⎠ =
1
4
⎛
⎜
⎝
1
1
1
1
1 −1
1 −1
1
1 −1 −1
1 −1 −1
1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
(1 − 4p)
n
(2p − 1)
n
(2p − 1)
n
⎞
⎟
⎠
En explicitant les probabilités P (X n = i), on s’aperçoit que leur limite
quand n tend vers +∞ est égale à 1/4. En effet, p ∈
0, 1/2
, donc
−1 < 2p − 1 < 0 et −1 < 4p − 1 < 1, donc (1 − 4p)
n et (2p − 1)
n
tendent vers 0 quand n tend vers +∞. La suite de va (X n ) converge
donc en loi vers une va X de loi uniforme sur {1, 2, 3, 4}.
Puissances d’une matrice, utilisation pour l’étude d’une suite
• Calcul de A
n . Soit f l’endomorphisme de R
3 dont la matrice dans la
base canonique B de R
3 est A =
5 −8 4
1
0 0
0
1 0
, et soit
v 1 = (1, 1, 1) , v 2 = (4, 2, 1) , v 3 = (4, 1, 0).
On vérifie que f (v 1 ) = v 1 , f (v 2 ) = 2v 2 , f (v 3 ) = v 2 + 2v 3 , et que la
famille C = (v 1 , v 2 , v 3 ) est une base de R
3 .
D’après la théorie du changement de base, on a alors A = PTP −1 , avec
T =
1 0 0
0 2 1
0 0 2
, P =
1 4 4
1 2 1
1 1 0
.
On montre alors, par récurrence : T
n
=
1 0
0
0 2
n n2
n−1
0 0
2
n
, ce qui
permet le calcul de A
n
=
PTP −1 n = PT
n P −1 .
• Utilisation pour l’étude d’une suite. Soit (u n ) la suite définie par :
u 0 = 1 ; u 1 = −1 ; u 2 = 1
∀n ∈ N, u n+3 = 5u n+2 − 8u n+1 + 4u n
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