Partie 2 – Algèbre linéaire
• Un mobile se déplace aléatoirement (marche aléatoire). À chaque instant
n (n ∈ N), sa position X n est une variable aléatoire qui prend ses valeurs
dans l’ensemble {1, . . . , r} (r entier naturel fixé 2).
• Pour tout i, j appartenant à {1, . . . , r}, on suppose que la probabilité de
transition p i,j = P (X n=i ) (X n+1 = j) ne dépend pas de n. On appelle vecteur
d’état à l’instant n la matrice colonne C n dont les termes successifs sont
les probabilités P (X n = 1) , . . . , P (X n = r).
• Soit la matrice A =
p i,j
1ir
1jr
, appelée matrice de transition.
La formule des probabilités totales, appliquée aux événements
P(X n+1 = 1) , . . . , P(X n+1 = r), avec le sce (X n = i) 1ir , conduit à :
X n+1 = AX n
• On en déduit alors, par récurrence : ∀n ∈ N, C n = A
n C 0 . Le calcul
de A
n et la donnée de C 0 conduisent alors à la connaissance de C n . Un
éventuel passage à la limite permet de prévoir ce qui se passe pour les
« grandes » valeurs de n.
Notons qu’il n’est pas toujours nécessaire d’expliciter A
n (voir
l’exemple), et que la matrice de transition définie ici est la transposée
de la matrice de transition telle qu’elle est définie dans l’enseignement de spécialité « pratique des graphes » de terminale ES.
On vérifie que la matrice A de l’exemple ci-dessus est la matrice de
transition pour la marche aléatoire ainsi définie :
« Les sommets d’un carré sont numérotés 1, 2, 3 et 4 de telle façon que
les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2, le sommet 2 au
sommet 3, le sommet 3 au sommet 4, le sommet 4 au sommet 1, les
diagonales reliant elles le sommet 1 au sommet 3 ainsi que le sommet 2
au sommet 4.
Un pion se déplace sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :
• Le pion est sur le sommet 1 au départ.
• Lorsque le pion est à un instant donné sur un sommet du carré, il
se déplace à l’instant suivant vers un sommet voisin (relié par un côté)
avec la probabilité p ou vers un sommet opposé (relié par une diagonale)
avec la probabilité 1 − 2p. »
On a donc
C n = A
n C 0 =
1
4
PD
n PC 0
168
• Un mobile se déplace aléatoirement (marche aléatoire). À chaque instant
n (n ∈ N), sa position X n est une variable aléatoire qui prend ses valeurs
dans l’ensemble {1, . . . , r} (r entier naturel fixé 2).
• Pour tout i, j appartenant à {1, . . . , r}, on suppose que la probabilité de
transition p i,j = P (X n=i ) (X n+1 = j) ne dépend pas de n. On appelle vecteur
d’état à l’instant n la matrice colonne C n dont les termes successifs sont
les probabilités P (X n = 1) , . . . , P (X n = r).
• Soit la matrice A =
p i,j
1ir
1jr
, appelée matrice de transition.
La formule des probabilités totales, appliquée aux événements
P(X n+1 = 1) , . . . , P(X n+1 = r), avec le sce (X n = i) 1ir , conduit à :
X n+1 = AX n
• On en déduit alors, par récurrence : ∀n ∈ N, C n = A
n C 0 . Le calcul
de A
n et la donnée de C 0 conduisent alors à la connaissance de C n . Un
éventuel passage à la limite permet de prévoir ce qui se passe pour les
« grandes » valeurs de n.
Notons qu’il n’est pas toujours nécessaire d’expliciter A
n (voir
l’exemple), et que la matrice de transition définie ici est la transposée
de la matrice de transition telle qu’elle est définie dans l’enseignement de spécialité « pratique des graphes » de terminale ES.
On vérifie que la matrice A de l’exemple ci-dessus est la matrice de
transition pour la marche aléatoire ainsi définie :
« Les sommets d’un carré sont numérotés 1, 2, 3 et 4 de telle façon que
les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2, le sommet 2 au
sommet 3, le sommet 3 au sommet 4, le sommet 4 au sommet 1, les
diagonales reliant elles le sommet 1 au sommet 3 ainsi que le sommet 2
au sommet 4.
Un pion se déplace sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :
• Le pion est sur le sommet 1 au départ.
• Lorsque le pion est à un instant donné sur un sommet du carré, il
se déplace à l’instant suivant vers un sommet voisin (relié par un côté)
avec la probabilité p ou vers un sommet opposé (relié par une diagonale)
avec la probabilité 1 − 2p. »
On a donc
C n = A
n C 0 =
1
4
PD
n PC 0
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