Chapitre 6 – Diagonalisation
3.2 Applications
Puissances d’une matrice, utilisation en probabilités
Supposons la matrice carrée A diagonalisable : A = PDP −1 , avec P
inversible et D diagonalisable. Alors, pour tout p ∈ N ∗ :
A
p
=
PDP
−1
. . .
PDP
−1
(p facteurs)
= PD
p P
−1
(ce qu’on peut aussi établir par récurrence). Le calcul de A
p peut alors
être effectué : on calcule D
p , puis P −1 , puis PD
p P −1 .
Pour p ∈
0, 1/2
on considère
A =
⎛
⎜
⎝
0
p
1 − 2p
p
p
0
p
1 − 2p
1 − 2p
p
0
p
p
1 − 2p
p
0
⎞
⎟
⎠ ,
et
P =
⎛
⎜
⎝
1
1
1
1
1 −1
1 −1
1
1 −1 −1
1 −1 −1
1
⎞
⎟
⎠
On a P
2
= 4I 4 , P
1
4 P
= I 4 , donc P est inversible et P −1 =
1
4 P.
On vérifie que les 4 vecteurs colonnes u 1 , u 2 , u 3 , u 4 de la matrice
A sont vecteurs propres de A pour les valeurs propres respectives
1, 1 − 4p, 2p − 1, 2p − 1. Ils constituent donc une base de M 1,4 (R)
formée de vecteurs propres de A. A est donc diagonalisable, et
A = PDP
−1 , avec D =
⎛
⎜
⎝
1
0
0
0
0 1 − 4p
0
0
0
0
2p − 1
0
0
0
0
2p − 1
⎞
⎟
⎠ .
Donc A =
1
4 PDP, A
n
=
1
4
n PD
n P
Le calcul de A
n n’est plus alors qu’une question de patience. (D
n est la
matrice diagonale dont les éléments de la diagonale sont, dans l’ordre,
1, (1 − 4p)
n , (2p − 1)
n , (2p − 1)
n .)
On est amené à calculer la puissance n-ème de certaines matrices, par
exemple en utilisant la méthode donnée ci-dessus, pour une utilisation
en probabilités dont nous donnons les grandes lignes. Le vocabulaire est
donné à titre d’information, aucune connaissance spécifique n’est exigible.
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