Partie 2 – Algèbre linéaire
Avec Y n =
u n+2
u n+1
u n
, on vérifie que, pour tout n, Y n+1 = AY n . On en
déduit, par récurrence, Y n = A
n Y 0 . On a donc Y n = PT
n P −1
1
−1
1
.
On achève les calculs, et la troisième ligne de la matrice obtenue donne,
pour tout n ∈ N : u n = 9 − 8 · 2
n + 6n · 2
n−1 .
Équation matricielle
Soit à résoudre un problème du type
n
k=0 a k X
k
= A, où la matrice
A = PDP −1 est diagonalisable, et X est une matrice à déterminer. L’idée
générale est la suivante : on pose Y = P −1 XP. On a alors X = PYP −1
et l’équation proposée est équivalente à
n
k=0
a k
PYP
−1
k = PDP
−1 ,
puis P
n
k=0 a k Y
k
P −1 = PDP −1 , puis
n
k=0 a k Y
k
= D. Le problème
obtenu est plus simple à résoudre, car D est diagonale.
Soit A =
16
4 −4
−18 −4
5
30
8 −7
. A est diagonalisable, on a A = PDP −1 ,
avec P =
1 0 −1
−2 1
1
2 1 −2
et D =
0 0 0
0 1 0
0 0 4
.
• On étudie l’équation X
2
= A, X ∈ M 3 (R).. Soit Y = P −1 XP.
(Analyse) Si X
2
= A, alors, puisque X = PYP −1 , on a
PYP
−1
2 = PDP
−1 ; PY
2 P
−1
= PDP
−1 ; Y
2
= D
L’équation Y
2
= D n’est pas simple à résoudre directement, mais on
remarque que si Y
2
= D, alors YD = DY . En effet YD = YY
2
= Y
3 ,
et DY = Y
2 Y = Y
3 .
On résout l’équation YD = DY , en cherchant Y sous la forme
Y =
a a a
b b b
c c c
. On trouve ( facilement) que Y est une matrice
diagonale. L’équation Y
2
= D fournit alors Y =
0 0 0
0 g 0
0 0 2g
, avec
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