Partie 2 – Algèbre linéaire
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.
Propriété admise, et qui ne peut donner lieu qu’à une question de cours
(« montrer sans calculs que A est diagonalisable »).
On dit que le polynôme P (X) est un polynôme annulateur de la
matrice carrée A ssi P (A) = 0.
Soit P (X) un polynôme annulateur de A. Alors toute valeur propre
de A est racine de ce polynôme.
• Soit A une matrice de M 3 (R) , différente de I 3 , telle que
A
3
− A
2 + A − I 3 = O 3 .
A admet pour polynôme annulateur le polynôme
P (X) = X
3
− X
2 + X − 1
(En effet, 1 = X
0 . En remplaçant X par A, on obtient A
0
= I 3 .)
Toute valeur propre de A est racine de P (X).
Or P (X) = (X − 1)
X
2 + 1
admet pour seule racine le nombre réel
1. On ne sait pas si 1 est effectivement valeur propre de A, mais on
peut dire que A n’est pas diagonalisable : sinon, sa seule valeur propre
serait 1, on aurait donc A = PI 3 P −1 = I, ce qu’on a supposé être faux.
Remarquons d’autre part que A est inversible et que le polynôme annulateur permet d’exprimer A −1 en fonction de A :
A
3
− A
2 + A − I 3 = O 3 , donc
A
3
− A
2 + A = I 3 , A
A
2
− A + I 3
= I 3 , donc A est inversible, et
A −1 = A
2
− A + I 3 .
• Soit A =
⎛
⎜
⎝
1
1 −1 −3
1
1
1 −2
0 −1
0
1
1
1
0 −2
⎞
⎟
⎠. A
2
= −I 4 , donc A
2 + I 4 = O 4 .
A admet le polynôme annulateur X
2 + 1, qui n’a pas de racine réelle.
Donc A n’admet pas de valeur propre réelle. A n’est donc pas diagonalisable, et elle est inversible (sinon, elle aurait 0 pour valeur propre).
On peut préciser ce dernier résultat en écrivant :
A
2
= −I 4 , donc A (−A) = I 4 , donc A est inversible, et A −1 = −A .
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