Chapitre 6 – Diagonalisation
En effet, une famille libre dans un ev de dimension n est de cardinal au
plus n.
Si, dans la recherche des valeurs propres de f ∈ L
R
3
, vous trouvez
4 valeurs propres, il y a une erreur, à ne pas laisser passer !
On peut généraliser ce résultat en disant que la somme des dimensions des sous-espaces propres d’un endomorphisme de E de dimension n est au plus égale à n. Ainsi, si l’énoncé met en évidence, pour
f ∈ L
R
3
, deux valeurs propres, les sous-espaces propres associés
étant de dimension 1 et 2, il est inutile de chercher d’autres valeurs
propres, et on peut conclure que f est diagonalisable.
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments de sa
diagonale.
En effet, l est valeur propre de A ssi A − lI n n’est pas inversible. Si A est
triangulaire, A − lI n l’est aussi, et une matrice triangulaire est inversible
ssi il n’y a pas de zéros sur sa diagonale.
L’endomorphisme f est bijectif ssi 0 n’est pas valeur propre de f .
La matrice A est inversible ssi 0 n’est pas valeur propre de A.
En effet, l est valeur propre de f ssi f − l · Id E n’est pas bijectif.
• Propriété très importante, qui correspond à une question souvent
posée. Si on connaît l’ensemble des valeurs propres de f , alors il est
inutile d’utiliser l’algorithme du pivot, ou toute autre méthode, pour
dire si f est bijectif.
• Ne confondez pas matrice diagonalisable et matrice inversible ! Il
n’y a aucune relation d’implication entre ces deux propriétés.
1 0
0 1
est diagonalisable et inversible,
0 0
0 0
diagonalisable et
non inversible,
1 1
0 1
non diagonalisable (sinon, avec 1 pour seule
valeur propre, la matrice serait égale à PI 3 P −1 = I) et inversible (0
n’est pas valeur propre),
0 1
0 0
non diagonalisable et non inversible.
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En effet, une famille libre dans un ev de dimension n est de cardinal au
plus n.
Si, dans la recherche des valeurs propres de f ∈ L
R
3
, vous trouvez
4 valeurs propres, il y a une erreur, à ne pas laisser passer !
On peut généraliser ce résultat en disant que la somme des dimensions des sous-espaces propres d’un endomorphisme de E de dimension n est au plus égale à n. Ainsi, si l’énoncé met en évidence, pour
f ∈ L
R
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, deux valeurs propres, les sous-espaces propres associés
étant de dimension 1 et 2, il est inutile de chercher d’autres valeurs
propres, et on peut conclure que f est diagonalisable.
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments de sa
diagonale.
En effet, l est valeur propre de A ssi A − lI n n’est pas inversible. Si A est
triangulaire, A − lI n l’est aussi, et une matrice triangulaire est inversible
ssi il n’y a pas de zéros sur sa diagonale.
L’endomorphisme f est bijectif ssi 0 n’est pas valeur propre de f .
La matrice A est inversible ssi 0 n’est pas valeur propre de A.
En effet, l est valeur propre de f ssi f − l · Id E n’est pas bijectif.
• Propriété très importante, qui correspond à une question souvent
posée. Si on connaît l’ensemble des valeurs propres de f , alors il est
inutile d’utiliser l’algorithme du pivot, ou toute autre méthode, pour
dire si f est bijectif.
• Ne confondez pas matrice diagonalisable et matrice inversible ! Il
n’y a aucune relation d’implication entre ces deux propriétés.
1 0
0 1
est diagonalisable et inversible,
0 0
0 0
diagonalisable et
non inversible,
1 1
0 1
non diagonalisable (sinon, avec 1 pour seule
valeur propre, la matrice serait égale à PI 3 P −1 = I) et inversible (0
n’est pas valeur propre),
0 1
0 0
non diagonalisable et non inversible.
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