Partie 2 – Algèbre linéaire
C = ((−1, 0, 1) , (1, 0, 1) , (0, 1, 0)) est une base de R
3 formée de vecteurs propres de f . La matrice de f dans cette base est D =
0 0 0
0 2 0
0 0 2
.
D’après la théorie du changment de base, la matrice P =
−1 1 0
0 0 1
1 1 0
est inversible, et A = PDP −1 .
Notez dans ces deux exemples comment on évoque la théorie du
changement de base, ce qui permet de montrer rapidement que la
matrice P est effectivement inversible : P est inversible car c’est la
matrice de passage de la base canonique B à la base C, et C est une
base de R
3 car f (ou A) est diagonalisable.
• Soit f ∈ L
R
3
diagonalisable avec une seule valeur propre l. Alors
la dimension du sep associé est égale à 3, le sep associé est R
3 lui-même.
Donc pour tout u ∈ R
3 , f (u) = l · u. La matrice de f dans toute base de
R
3 est lI 3 . En dehors de ce cas, un endomorphisme de R
3 possèdant
une seule valeur propre n’est pas diagonalisable.
Soit A ∈ M 3 (R) diagonalisable avec une seule valeur propre l. Alors
il existe P inversible telle que A = P (lI 3 ) P −1 = lI 3 . En dehors de ce
cas, une matrice avec une seule valeur propre n’est pas diagonalisable.
• Avec f ∈ L
R
3
de matrice A =
−2
5
7
−1
6
9
0 −2 −3
dans la base
canonique de R
3 , on trouve
−1 vap de f , sep associé Vect ((2, −1, 1)).
1 vap de f , sep associé Vect ((1, 2, −1)).
La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à 2, donc
f ∈ L
R
3
n’est pas diagonalisable. (Le fait que f ait deux valeurs
propres ne suffit pas pour conclure.)
Propriétés diverses
Soit f un endomorphisme de l’ev E de dimension n. Alors f admet
au plus n valeurs propres distinctes.
A ∈ M n (R) admet au plus n valeurs propres distinctes.
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