Chapitre 6 – Diagonalisation
Soit f un endomorphisme de E, ev de dimension n. f est diagonalisable ssi la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est
égale à n.
Propriété admise.
On a les théorèmes analogues pour la matrice A de M n (R) :
Les vecteurs colonnes propres de A associés à des valeur propres distinctes
de A forment une famille libre de M n,1 (R).
Si A admet n valeur propres distinctes, alors A est diagonalisable.
A est diagonalisable ssi la somme des dimensions des sous-espaces propres
de A est égale à n.
• Soit f ∈ L
R
3
de matrice A =
1 1 1
0 2 2
0 0 3
dans la base canonique
de R
3 . f admet 3 valeurs propres distinctes, les réels 1, 2, 3. (En effet, l
est valeur propre de f ssi A − lI 3 n’est pas inversible.) Donc f est diagonalisable. En résolvant les systèmes triangulaires (A − lI 3 ) X = 0 avec
l = 1, 2, 3, on touve respectivement les sep Vect (u 1 ) , Vect (u 2 ) , Vect (u 3 ),
avec
u 1 = (1, 0, 0) , u 2 = (1, 1, 0) , u 3 = (3, 4, 2)
C = (u 1 , u 2 , u 3 ) est une base de R
3 formée de vecteurs propres de f .
La matrice de f dans cette base est D =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
.
D’après la théorie du changment de base, la matrice P =
1 1 3
0 1 4
0 0 2
est inversible, et A = PDP −1 .
• Avec f ∈ L
R
3
de matrice A =
1 0 1
0 2 0
1 0 1
dans la base canonique
de R
3 , on a trouvé précédemment :
0 vap de f , sep associé F 0 = Vect ((−1, 0, 1)).
2 vap de f , sep associé F 2 = Vect ((1, 0, 1) , (0, 1, 0))
La somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à
1 + 2 = 3, donc f est diagonalisable.
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