Partie 2 – Algèbre linéaire
La matrice A de M n (R) est diagonalisable ssi il existe une matrice
diagonale D et une matrice inversible P de M n (R) telles que
A = PDP
−1
Vous ferez un effort particulier pour comprendre et mémoriser ces
définitions encadrées.
Critères pour la diagonalisation
Théorème. Soient u 1 , . . . , u p des vecteurs propres associés à des
valeurs propres distinctes l 1 , . . . , l p de l’endomorphisme f . Alors la
famille
u 1 , . . . , u p
est libre.
Démontrons ce théorème dans le cas particulier où p = 2. Soient a 1 , a 2
des réels tels que a 1 · u 1 + a 2 · u 2 = 0 E . En appliquant f on trouve
a 1 l 1 · u 1 + a 2 l 2 · u 2 = 0 E . Mais a 2 · u 2 = −a 1 · u 1 , donc
a 1 l 1 · u 1 − a 1 l 2 · u 1 = 0 E , a 1 (l 1 − l 2 ) · u 1 = 0 E .
u 1 est non nul, l 1 est différent de l 2 , c’est donc a 1 qui est nul, puis a 2
aussi, car u 2 est non nul. La famille (u 1 , u 2 ) est donc libre.
On démontre ce théorème dans le cas général par récurrence.
On déduit immédiatement de ce théorème une condition suffisante de
diagonalisation :
Soit f un endomorphisme de E, ev de dimension n. Si f admet
n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable.
En effet, les vecteurs u 1 , . . . , u n associés aux n valeurs propres distinctes
forment une famille libre. Comme elle est de cardinal n, et que E est de
dimension n, c’est une base de E formée de vecteurs propres de f .
Attention, il s’agit d’une condition suffisante pour que f soit diagonalisable, mais pas nécessaire : il existe des endomorphismes de R
3
diagonalisables avec 2 valeurs propres distinctes, ou une seule.
On évitera donc d’écrire « f ∈ L
R
3
n’admet pas trois valeurs
propres distinctes, f n’est donc pas diagonalisable. »
Voici une condition nécessaire et suffisante de diagonalisation :
160
La matrice A de M n (R) est diagonalisable ssi il existe une matrice
diagonale D et une matrice inversible P de M n (R) telles que
A = PDP
−1
Vous ferez un effort particulier pour comprendre et mémoriser ces
définitions encadrées.
Critères pour la diagonalisation
Théorème. Soient u 1 , . . . , u p des vecteurs propres associés à des
valeurs propres distinctes l 1 , . . . , l p de l’endomorphisme f . Alors la
famille
u 1 , . . . , u p
est libre.
Démontrons ce théorème dans le cas particulier où p = 2. Soient a 1 , a 2
des réels tels que a 1 · u 1 + a 2 · u 2 = 0 E . En appliquant f on trouve
a 1 l 1 · u 1 + a 2 l 2 · u 2 = 0 E . Mais a 2 · u 2 = −a 1 · u 1 , donc
a 1 l 1 · u 1 − a 1 l 2 · u 1 = 0 E , a 1 (l 1 − l 2 ) · u 1 = 0 E .
u 1 est non nul, l 1 est différent de l 2 , c’est donc a 1 qui est nul, puis a 2
aussi, car u 2 est non nul. La famille (u 1 , u 2 ) est donc libre.
On démontre ce théorème dans le cas général par récurrence.
On déduit immédiatement de ce théorème une condition suffisante de
diagonalisation :
Soit f un endomorphisme de E, ev de dimension n. Si f admet
n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable.
En effet, les vecteurs u 1 , . . . , u n associés aux n valeurs propres distinctes
forment une famille libre. Comme elle est de cardinal n, et que E est de
dimension n, c’est une base de E formée de vecteurs propres de f .
Attention, il s’agit d’une condition suffisante pour que f soit diagonalisable, mais pas nécessaire : il existe des endomorphismes de R
3
diagonalisables avec 2 valeurs propres distinctes, ou une seule.
On évitera donc d’écrire « f ∈ L
R
3
n’admet pas trois valeurs
propres distinctes, f n’est donc pas diagonalisable. »
Voici une condition nécessaire et suffisante de diagonalisation :
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