Chapitre 6 – Diagonalisation
lieu aux calculs
1 − (1 − l)
2
= (1 − 1 + l) (1 + 1 − l) = l (2 − l)
Par contre vous mentionnerez bien les opérations élémentaires sur
les lignes, en proscrivant absolument toute opération du type
L i ← aL i + bL j , avec a susceptible d’être nul.
• Les résultats obtenus sont susceptibles d’être vérifiés, et il est
conseillé de le faire ! Dans l’exemple traité, la vérification est :
A
−1
1
0
= 0
−1
1
0
; A
1
0
1
= 2
1
0
1
; A
0
1
0
= 2
0
1
0
Et il vaut mieux prendre le temps de corriger une erreur que de
persister dans celle-ci, surtout si le traitement des questions suivantes
dépend de la bonne réponse . . .
• Le savoir technique mis en œuvre ici ne doit pas vous faire oublier
la définition d’un vecteur propre et d’une valeur propre (f (u) = l · u
en abrégé), qu’il est essentiel de bien comprendre. Par exemple, si
on demande de vérifier que u = (1, 0, 2) est un vecteur propre pour
l’endomorphisme f de R
3 de matrice A =
−19 6 9
−30 11 15
−22 6 10
dans la
base canonique, il serait très maladroit de suivre la démarche précédente, alors qu’il suffit d’effectuer
−19 6 9
−30 11 15
−22 6 10
1
0
2
=
−1
0
−2
= (−1)
1
0
2
pour pouvoir dire : f (u) = −u, donc u est un vecteur propre de f
pour la valeur propre 1.
2.2 Endomorphismes et matrices diagonalisables
Définitions
L’endomorphisme f de L (E) est dit diagonalisable ssi il existe une base
de E dans laquelle la matrice de f est diagonale, ou de façon équivalente :
Un endomorphisme f de E est diagonalisable ssi il existe une base de
E formée de vecteurs propres de f .
Soit A = Mat ( f, B). On dit que la matrice A est diagonalisable ssi f est
diagonalisable. D’après la théorie du changement de base, on a de façon
équivalente :
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