Partie 2 – Algèbre linéaire
Déterminons les valeurs propres et vecteurs propres de f ∈ L
R
3
dont la matrice dans la base canonique de R
3 est :
A =
1 0 1
0 2 0
1 0 1
On cherche l ∈ R et X = 0 tels que (A − l · I 3 ) X = 0. Par la
méthode du pivot :
1 − l
0
1
0
2− l
0
1
0
1− l
L 1 ↔ L 3
1
0
1− l
0
2− l
0
1 − l
0
1
L 3 ← L 3 − (1 − l) L 1
1
0
1− l
0 2 − l
0
0
0
l (2 − l)
Les valeurs propres de f sont donc 0 et 2.
Pour l = 0 :
x + z = 0
2y = 0
0 = 0
⇔
x = −z
y = 0
solutions (x, y, z) = (−z, 0, z) = z (−1, 0, 1)
Le sous-espace propre associé est F 0 = Vect ((−1, 0, 1)) .
Pour l = 2 :
x − z = 0
0 = 0
0 = 0
⇔ x = z
solutions (x, y, z) = (z, y, z) = z (1, 0, 1) + y (0, 1, 0)
Le sous-espace propre associé est F 2 = Vect ((1, 0, 1) , (0, 1, 0)) .
• On peut aussi dire : les valeurs propres de A sont 0 et 2. Le
sous-espace propre de A pour la valeur propre 0 est Vect
−1
0
1
ou Vect ((−1, 0, 1))
, etc.
• N’écrivez pas sur votre copie les calculs annexes (mais faites-les !).
Par exemple l’opération élémentaire L 3 ← L 3 − (1 − l) L 1 donne
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