Chapitre 6 – Diagonalisation
Proposition et définition
Soit l une valeur propre de f .
Alors l’ensemble
F l = {u ∈ E | f (u) = l · u}
est un sev de E, non réduit au vecteur 0 E , appelé le sous-espace
propre de f associé à la valeur propre l.
En effet :
u ∈ F l ⇔ f (u) − lu = 0 E ⇔ ( f − l · Id E ) (u) = 0 E
⇔ u ∈ Ker ( f − l · Id E )
f − l · Id E est un endomorphisme de E, et on sait que le noyau d’une
application linéaire est un sev. D’autre part F l n’est pas réduit à 0 E car
on a supposé que l était valeur propre de f .
On parlera de même du sous-espace propre de la matrice A associé à la
valeur propre l. Ce sous-espace propre est un sev de M n,1 (R).
On abrégera valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre en : vap,
vep, sep.
Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres
De l’étude du chapitre 5, on déduit et on retient :
Soit f ∈ L (E) , B une base de E, A = Mat ( f, B).
l valeur propre de f ⇔ l valeur propre de A
⇔ Ker ( f − l · Id E ) = {0 E }
⇔ f − l · Id E non injective
⇔ f − l · Id E non bijective
⇔ A − l · I n non inversible
⇔ ∃X ∈ M n (R) , X = 0, (A − lI n ) X = 0
Pratiquement, on utilise la dernière équivalence, qui conduit à résoudre
un système homogène, en discutant suivant la valeur de l. On a traité
en détail un exemple, § 4.1.3, on en traite ici un autre, de façon plus
synthétique.
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