Partie 2 – Algèbre linéaire
• P étant une matrice inversible fixée, on vérifie sans peine que l’application f P de M n (R) dans M n (R) définie par f P (M) = P −1 MP est un
automorphisme, dont la réciproque est f
−1
P (N) = PNP −1 . Il vérifie de
plus : f P
MM = f P (M) f P
M
pour tout M, M .
2. Diagonalisation
2.1 Valeurs propres, vecteurs propres
Soit f ∈ L (E), B une base de E, A la matrice de f dans la base B.
Supposons qu’il existe une base C = (u 1 , . . . , u n ) de E dans laquelle la
matrice D de f soit diagonale :
D = Mat ( f, C) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
l 1 0 . . . . . . 0
0 l 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 . . . . . . 0 l n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
On a alors, pour tout i ∈ {1, . . . , n} : f (u i ) = l i · u i
Cela conduit naturellement aux définitions suivantes.
Définitions
Soit f ∈ L (E), u ∈ E, u = 0 E et l ∈ R tels que f (u) = l · u.
On dit alors que l est une valeur propre de f , et que u est un vecteur
propre de f pour la valeur propre l (ou : associé à la valeur propre l).
On précise u = 0 E , sinon tout l réel serait valeur propre :
∀l ∈ R, f (0 E ) = 0 E = l · 0 E
Par contre, 0 peut être valeur propre. C’est le cas ssi f n’est pas injectif.
Soit A une matrice de M n (R), X une matrice colonne de M n,1 (R),
non nulle, et l ∈ R, tels que AX = lX.
On dit alors que l est une valeur propre de A, et que X est un vecteur
propre de A pour la valeur propre l (ou : associé à la valeur propre l).
On dit aussi : X est un vecteur-colonne propre, ou une matrice colonne
propre.
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