Chapitre 6 – Diagonalisation
Proposition 3 (Effet d’un changement de base sur la matrice d’un
endomorphisme). Soit
• B, B deux bases de E ;
• P la matrice de passage de B à B ;
• f un endomorphisme de E ;
• A = Mat ( f, B) , A = Mat
f, B
les matrices de f dans les bases
B, B .
Alors
A
= P
−1 AP
De façon équivalente, on a A = PA P −1 , voir la première remarque
ci-dessous. C’est d’ailleurs sous cette forme que vous utiliserez le plus
souvent la théorie du changement de base, la matrice A étant plus
simple à manipuler que la matrice A.
Par exemple, avec
n ∈ N
∗ , A
n
=
PA
P
−1
. . .
PAP
−1
= PA
n P
−1
.
Si A est diagonale, alors on calcule facilement A n , puis A
n .
Matrices semblables
Deux matrices A, A appartenant à M n (R) sont dites semblables ssi il
existe une matrice inversible P appartenant à M n (R) telles que
A
= P
−1 AP
Deux matrices sont semblables ssi elles représentent dans deux bases le
même endomorphisme de E ev de dimension n.
Remarques
• A est semblable à A, car A = I n
−1 AI n .
Si A est semblable à A , alors A est semblable à A :
A
= P
−1 AP ⇒ PA
P
−1
= P
P
−1 AP
P
−1
=
PP
−1
A
PP
−1
= A
Si A est semblable à A et A est semblable à A , alors A est semblable
à A :
A = PA
P
−1 , A
= QA
Q
−1
⇒ A = PQA
Q
−1 P
−1
= (PQ) A
(PQ)
−1
On dit que la relation « A est semblable à A » est une relation d’équivalence.
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