Partie 2 – Algèbre linéaire
Exemple. Soit F = (u 1 , u 2 , u 3 ), avec
u 1 = (1, 0, 0) , u 2 = (2, 2, 0) , u 3 = (3, 3, 3)
La matrice de passage de B (base canonique de R
3 ) à F est
P =
1 2 3
0 2 3
0 0 3
. P est une matrice triangulaire sans zéros sur la
diagonale, elle est donc inversible, et F est une base de R
3 . En calculant
P −1 , par exemple grâce à la méthode du pivot, on trouve :
P −1 =
1 −1
0
0 1/2 −1/2
0 0
1/3
. P −1 est la matrice de passage de la base
F à la base B, les vecteurs colonnes de P −1 fournissent donc :
e 1 = u 1 ; e 2 = −u 1 +
1
2
u 2 ; e 3 = −
1
2
u 2 +
1
3
u 3
(On aurait pu procéder dans l’ordre inverse, en exprimant les e i en
fonction des u i , et en déduire alors P −1 .)
• Ne pas confondre la matrice P et la famille F. P est inversible ssi
la famille F est une base ( ou une famille libre), mais on ne parle pas
de matrice libre ni de famille inversible.
• La proposition 1 donne une nouvelle manière de déterminer si
une famille F est une base (ssi la matrice de passage de B à F est
inversible).
Proposition 2. (Effet d’un changement de base sur les coordonnées
d’un vecteur). Soit B, B deux bases de E, P la matrice de passage de B
à B , u un vecteur de E, X = Mat (u, B), X = Mat
u, B
les matrices
colonnes des coordonnées de u dans les bases B, B .
Alors
X = PX
La matrice de passage est construite en écrivant en colonne les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base par rapport à l’ancienne,
mais elle donne les anciennes coordonnées des vecteurs par rapport
aux nouvelles.
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