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Diagonalisation
Les matrices carrées avec lesquelles les calculs sont les plus simples
sont les matrices diagonales. On a vu en effet que, si p ∈ N ∗ et
D =
l 1 0 0
0 l 2 0
0 0 l 3
, alors D
p
=
l
p
1
0 0
0 l
p
2
0
0 0 l
p
3
, ceci restant
valable avec p = −1 (c’est-à-dire avec D est inversible) ssi tous les l i
sont non nuls.
Le problème de la diagonalisation peut se poser de la manière suivante :
soit f un endomorphisme de l’ev E de dimension n, B une base de E,
A = Mat ( f, B) la matrice de f dans la base B. Trouver, si elle existe, une
base B de E dans laquelle la matrice de f soit diagonale.
Le § 2 est l’objet de cette étude. Auparavant, on doit savoir « passer »
d’une base à une autre, c’est l’objet du § 1. Les résultats seront donnés
dans le cadre abstrait de l’ev E de dimension n, muni d’une base B. Dans
les exemples des deux premiers paragraphes, on aura toujours E = R
3 ,
B la base canonique de R
3 .
1. Théorie du changement de base
Définition. Soit B une base de l’ev E de cardinal n, F une famille de
n vecteurs de E. La matrice de passage de la base B à la famille F
est la matrice P dont les colonnes successives sont les coordonnées des
vecteurs u 1 , . . . , u n dans la base B.
Propriétés
Proposition 1. La matrice P est inversible ssi F est une base de
E. La matrice P −1 est alors la matrice de passage de la base F à la
base B.
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