Chapitre 6 – Diagonalisation
• Soit A =
1 0 −1
1 0 −1
0 1 −1
. A
2
= O 3 , A
3
= O 3 . A admet pour polynôme annulateur P (X) = X
3 , dont la seule racine est 0. Donc si l est
valeur propre de A, alors l = 0. Attention, cela ne prouve pas que 0
est effectivement valeur propre de A. Mais A n’est pas inversible (sinon
on aurait A −1 A
3
= O 3 A
3
= O 3 , A
2
= O 3 , or A
2
= O 3 ), donc 0 est
valeur propre de A, et c’est la seule, donc A n’est pas diagonalisable
(sinon aurait A = PO 3 P −1 = O 3 ).
On voit sur ces trois exemples l’utilisation qui est faite d’un polynôme annulateur de A pour déterminer si A est inversible, et calculer éventuellement son inverse. On peut aussi utiliser un polynôme
annulateur de A pour calculer A
n , c’est ce qu’on a fait dans l’exemple
2 du § 4.2.4, où le polynôme annulateur était
P (X) = X
3
− X
2
− 2X.
On rappelle que si A = Mat ( f, B), alors A
n
= Mat (f n , B), avec
f
0
= Id E , et f
n
= f ◦ · · · ◦ f (n termes). Un polynôme annulateur
de A est donc aussi un polynôme annulateur de f , et on peut dire :
Si l’endomorphisme f admet un polynôme annulateur P, alors toute
valeur propre de f est racine de ce polynôme.
Démontrons cette propriété. Soient P (X) =
p
k=0 a k X
k un polynôme
annulateur de f (donc
p
k=0 a k f
k (v) = 0 E pour tout v), u = 0 E et l ∈ R
tels que f (u) = l · u. Alors
f
2 (u) = f ( f (u)) = f (lu) = lf (u) = llu = l
2 u,
puis, par récurrence : f
k (u) = l
k u, puis
p
k=0 a k l
k u = 0 E , puis
p
k=0 a k l
k
= 0 car u = 0 E , P (l) = 0.
3. Autres réductions — Applications
3.1 Autres réductions
Si l’endomorphisme f (resp. la matrice carrée A) n’est pas diagonalisable,
on peut chercher une base de E (resp. une matrice P inversible) telle
que la matrice de f dans cette base (resp. la matrice A = PAP −1 ) soit
« simple », en général triangulaire. Aucune connaissance spécifique n’est
exigible, on donne quelques exemples.
165