Partie 2 – Algèbre linéaire
• w est un automorphisme de R n [X], et w −1 (Q) (X) = Q (X − 1) pour
tout Q ∈ R n [X]. En effet :
Q = w (P) ⇔ Q (X) = P (X + 1) ⇔ P (X) = Q (X − 1)
• soit A la matrice de w dans la base canonique de R n [X]. Les colonnes
de A sont les coordonnées de w (1) , w (X) , . . . , w (X n ) dans la base
(1, X, . . . , X
n ). Attention, il s’agit des (fonctions) polynômes 1, X, . . . ,
et non des nombres réels. On a
w (1) = 1 ; w (X) = X + 1 ; . . . ; w (X
n ) = (X + 1)
n
En effet, si, pour tout X ∈ R, P (X) = 1, alors, pour tout X ∈ R,
Q (X) = w (P) (X) = P (X + 1) = 1, etc.
On utilise alors la formule du binôme :
(X + 1)
k
=
k
i=0
k
i
X
i
La matrice A est donc la matrice
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
1
0
2
0
. . . . . .
n
0
0
1
1
2
1
. . . . . .
n
1
. . .
0
2
2
. . . . . .
n
2
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
0
n
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
• Puisque w est un automorphisme, A est inversible, et A −1 est la matrice
de w −1 dans la même base (1, X, . . . , X
n ). On a
w
−1
X
k
= (X − 1)
k
=
k
i=0
k
i
X
i (−1)
k−i
150