Chapitre 5 – Espaces vectoriels applications linéaires
La démonstration n’est pas détaillée, on en donne juste les grandes lignes :
• L’ensemble E = {(u n ) ; ∀n ∈ N, u n+2 = au n+1 + bu n } est un espace
vectoriel, car c’est un sev de l’ev de référence R
N .
• L’application F : E → R
2 , (u n ) → (u 0 , u 1 ) est un isomorphisme d’espaces vectoriels, car elle est linéaire (revenir à la définition), et bijective
(idem).
• D’après la formule du rang, E est donc de dimension 2. On cherche
alors deux éléments non colinéaires de E, qui formeront une base de E.
• On cherche d’abord les suites géométriques (r n ) appartenant à E, ce
qui a lieu si et seulement si
∀n ∈ N, r
n+2
= ar
n+1 + br
n
⇔ r
n
r
2
− ar − b
= 0
• Ainsi apparaît l’équation caractéristique. Si celle-ci a deux solutions r 1
et r 2 , les suites (r 1
n ) et (r 2
n ) forment une famille libre, donc une base, de
E qui est de dimension 2. Cela veut dire exactement :
∃a, b ∈ R, (u n ) = a · (r 1
n ) + b · (r 2
n ), c’est-à-dire :
∀n ∈ N, u n = ar 1
n + br 2
n ,
soit le résultat dans ce cas là.
Enfin, si l’équation caractéristique a une racine double r 1 , on vérifie que
les suites (r 1
n ) et (nr 1
n ) appartiennent à E et forment une famille libre, ce
qui donne le résultat dans ce cas là.
5.2 Inversibilité du tableau de Pascal
Soit n ∈ N ∗ et w l’application de R n [X] dans R [X] définie par
w (P) = Q tel que Q (X) = w (P) (X) = P (X + 1) .
• w est un endomorphisme de R n [X]. En effet :
– Si P est un polynôme de degré n, alors Q (X) = P (X + 1) est un
polynôme de degré n. w est donc une application de R n [X] dans
R n [X].
– Si P 1 , P 2 ∈ R n [X] et a ∈ R, alors
w (P 1 + P 2 ) (X) = (P 1 + P 2 ) (X + 1) = P 1 (X + 1) + P 2 (X + 1)
= w (P 1 ) (X) + w (P 2 ) (X) ,
donc w (P 1 + P 2 ) = w (P 1 ) + w (P 2 ) ;
w (aP 1 ) (X) = (aP 1 ) (X + 1) = aP 1 (X + 1) = aw (P 1 ) (X)
donc w est linéaire.
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