Partie 2 – Algèbre linéaire
– Pour déterminer Im ( f ), on peut écrire
Im ( f ) = Vect ( f (E 1 ) , f (E 2 ) , f (E 3 ) , f (E 4 ))
= Vect
1
2
I,
1
2
J,
1
2
J,
1
2
I
= Vect
1
2
I,
1
2
J
= Vect (I, J)
En effet,
1
2 I et
1
2 J ne sont pas colinéaires, ils constituent donc une
base de Im ( f ) qui est donc de dimension 2. I et J appartiennent à
Im ( f ) et ne sont pas colinéaires, (I, J) est donc un base de Im ( f ).
La dimension de Im ( f ) est appelée rang de f , noté rg ( f ). La formule
du rang s’écrit donc :
dim (Ker ( f )) + rg ( f ) = dim (E)
Soit f un endomorphisme de R
3 . Si f est de rang 0, alors f est l’endomorphisme nul. Si f est de rang 1, les trois vecteurs-colonnes de la
matrice A de f dans une base quelconque ont leurs coordonnées proportionnelles. Si f est de rang 2, un des vecteurs-colonnes est colinéaire
à une combinaison linéaire des deux autres, qui sont non colinéaires. Si f
est de rang 3, alors les trois vecteurs-colonnes de A forment une famille
libre ; f est un isomorphisme.
5. Deux applications
5.1 Application aux suites récurrentes linéaires
On va utiliser les outils d’algèbre linéaire rencontrés jusqu’ici (sousespaces vectoriels, isomorphisme, dimension, bases) pour établir le théorème sur les suites récurrentes linéaires à deux termes (voir § 0.4.4) :
Soit a, b ∈ R, (u n ) n∈N telles que ∀n ∈ N, u n+2 = au n+1 + bu n
On considère l’équation caractéristique (1) r
2
= ar + b.
• Si l’équation (1) a deux racines r 1 , r 2 , alors il existe a, b ∈ N tels
que :
∀n ∈ N, u n = ar 1
n + br 2
n
• Si l’équation (1) a une racine double r 1 , alors il existe a, b ∈ N
tels que :
∀n ∈ N, u n = ar 1
n + bnr 1
n
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