Chapitre 5 – Espaces vectoriels applications linéaires
Soit f l’endomorphisme de R
3 dont la matrice dans la base canonique
est A =
2 −2 −2
−1
3
1
−1 −1
1
. Pour déterminer Ker ( f ), on résout le
système homogène f ((x, y, z)) = (0, 0, 0), et on trouve
Ker ( f ) = Vect ((1, 0, 1)), qui est donc de dimension 1. D’après la formule du rang, Im ( f ) est de dimension 2. La famille
((2, −1, −1) , (−2, 3, −1) , (−2, 1, 1))
est une famille génératrice de Im ( f ). On en extrait la famille
((2, −1, −1) , (−2, 3, −1))
(par exemple) libre et de cardinal 2, qui est une donc une base de
Im ( f ).
On peut aussi déterminer une base de Im ( f ) sans passer par le noyau de
f : il suffit d’extraire de la famille ( f (e 1 ) , . . . , f (e n )) (qui est une famille
génératrice de Im ( f )) une sous-famille libre de cardinal maximal. Cette
famille est alors une base de Im ( f ).
• E est un ev rapporté à une base B = (e 1 , e 2 , e 3 ), a un nombre réel, f a
l’endomorphisme de R
3 tel que :
f a (e 2 ) = 0 ; f a (e 1 ) = f a (e 3 ) = u 1 = a · e 1 + e 2 − a · e 3
Im ( f a ) est engendré par la famille (0, u 1 , u 1 ). On en extrait la famille
libre de cardinal maximal (u 1 ), qui est une base de Im ( f a ).
• Soit B = (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) la base canonique de M 2 (R) (voir § 5.1.3),
I = E 1 + E 4 =
1 0
0 1
, J = E 2 + E 3 =
0 1
1 0
, f l’application
qui à toute matrice M =
a b
c d
associe la matrice
f (M) =
a + d
2
I +
b + c
2
J.
– f est un endomorphisme de M 2 (R) (appliquer la définition, sans
oublier de dire que pour tout M de M 2 (R), f (M) appartient à
M 2 (R)).
– f (E 1 ) = f (E 4 ) =
1
2 I, f (E 2 ) = f (E 3 ) =
1
2 J. La matrice de f dans la
base B est donc
A =
⎛
⎜
⎝
1/2 0
0 1/2
0 1/2 1/2 0
0 1/2 1/2 0
1/2 0
0 1/2
⎞
⎟
⎠ .
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Soit f l’endomorphisme de R
3 dont la matrice dans la base canonique
est A =
2 −2 −2
−1
3
1
−1 −1
1
. Pour déterminer Ker ( f ), on résout le
système homogène f ((x, y, z)) = (0, 0, 0), et on trouve
Ker ( f ) = Vect ((1, 0, 1)), qui est donc de dimension 1. D’après la formule du rang, Im ( f ) est de dimension 2. La famille
((2, −1, −1) , (−2, 3, −1) , (−2, 1, 1))
est une famille génératrice de Im ( f ). On en extrait la famille
((2, −1, −1) , (−2, 3, −1))
(par exemple) libre et de cardinal 2, qui est une donc une base de
Im ( f ).
On peut aussi déterminer une base de Im ( f ) sans passer par le noyau de
f : il suffit d’extraire de la famille ( f (e 1 ) , . . . , f (e n )) (qui est une famille
génératrice de Im ( f )) une sous-famille libre de cardinal maximal. Cette
famille est alors une base de Im ( f ).
• E est un ev rapporté à une base B = (e 1 , e 2 , e 3 ), a un nombre réel, f a
l’endomorphisme de R
3 tel que :
f a (e 2 ) = 0 ; f a (e 1 ) = f a (e 3 ) = u 1 = a · e 1 + e 2 − a · e 3
Im ( f a ) est engendré par la famille (0, u 1 , u 1 ). On en extrait la famille
libre de cardinal maximal (u 1 ), qui est une base de Im ( f a ).
• Soit B = (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) la base canonique de M 2 (R) (voir § 5.1.3),
I = E 1 + E 4 =
1 0
0 1
, J = E 2 + E 3 =
0 1
1 0
, f l’application
qui à toute matrice M =
a b
c d
associe la matrice
f (M) =
a + d
2
I +
b + c
2
J.
– f est un endomorphisme de M 2 (R) (appliquer la définition, sans
oublier de dire que pour tout M de M 2 (R), f (M) appartient à
M 2 (R)).
– f (E 1 ) = f (E 4 ) =
1
2 I, f (E 2 ) = f (E 3 ) =
1
2 J. La matrice de f dans la
base B est donc
A =
⎛
⎜
⎝
1/2 0
0 1/2
0 1/2 1/2 0
0 1/2 1/2 0
1/2 0
0 1/2
⎞
⎟
⎠ .
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