Partie 2 – Algèbre linéaire
• Soit f l’endomorphisme de R
3 dont la matrice dans la base canonique
de R
3 est A =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
.
(x, y, z) ∈ Ker ( f ) ⇔
x + z = 0
x + y = 0
y + z = 0
⇔ . . .
⇔
x = 0
y = 0
z = 0
.
Ker ( f ) = {0}, l’endomorphisme f est donc bijectif, et on a Im ( f ) = R
3 .
Attention, on peut avoir Ker ( f ) = {0 E } sans que f soit bijective. Il
faut donc bien préciser que f est un endomorphisme.
Remarques
• f : E → F linéaire est un isomorphisme ssi l’image d’une base de E
est une base de F. En effet, avec (e i ) 1in base de E, si f est un isomorphisme, pour tout v ∈ F, il existe un unique u =
n
i=1 a i e i dans
E tel que v = f (u) =
n
i=1 a i f (e i ), ce qui prouve que ( f (e i )) 1in
est une base de F. Réciproquement, si ( f (e i )) 1in est une base de
F, alors pour tout v ∈ F, il existe (a i ) 1in unique dans R
n tel que
v =
n
i=1 a i f (e i ) = f
n
i=1 a i e i
, ce qui prouve que f est un isomorphisme.
• Deux ev E et F sont dits isomorphes ssi il existe un isomorphisme
f : E → F. Pour que E et F de dimension finie soient isomorphes, il
est nécessaire qu’ils soient de même dimension. Cette condition est aussi
suffisante : avec (e i ) 1in ,
e
i
1in
bases respectives de E, F, l’application linéaire f telle que pour tout i, f (e i ) = e
i est un isomorphisme,
d’après la remarque précédente.
Détermination de l’image d’une application linéaire
Avec f : E → F linéaire, (e i ) 1in base de E, on sait que Im ( f ) est
engendrée par f (e 1 ) , . . . , f (e n ).
Si la dimension de Ker ( f ) est connue, on connaît alors grâce à la formule
du rang la dimension de Im ( f ), puis une base de Im ( f ).
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