Chapitre 5 – Espaces vectoriels applications linéaires
Réciproquement, supposons Ker ( f ) = {0 E }. Alors
f (u) = f
u ⇒ f (u) − f
u = 0
⇒ f
u − u = 0 F
⇒ u − u ∈ Ker ( f )
⇒ u − u = 0 E
⇒ u = u : f est injective.
• Par définition, Im ( f ) ⊂ F, et f (0 E ) = 0 F , donc 0 F ∈ Im ( f ).
Si v, v ∈ Im ( f ) et a ∈ R, alors
v + v
= f (u) + f
u
= f
u + u
∈ Im ( f )
a · v = a · f (u) = f (a · u) ∈ Im ( f )
La quatrième propriété est évidente. Pour la cinquième, il suffit d’écrire :
v ∈ Im ( f ) ⇔ v = f (u) = f
p
i=1
a i · e i
=
p
i=1
a i · f (e i )
On admet la dernière propriété.
4.2 Applications
Caractérisation des isomorphismes
• Soit f : E → E un endomorphisme. On a alors les équivalences :
f bijective ⇔ f injective ⇔ Ker ( f ) = {0 E }
⇔ f surjective ⇔ Im ( f ) = E
• Soit f : E → F linéaire. On a les équivalences :
f bijective ⇔ f injective (⇔ Ker ( f ) = {0 E }) et dim (E) = dim (F)
Démonstration. Il suffit d’appliquer la formule du rang :
dim (Ker ( f )) + dim (Im ( f )) = dim (E)
Si par exemple f est injective, on a successivement
Ker ( f ) = {0 E } , dim (Ker ( f )) = 0, dim (Im ( f )) = dim (E)
Dans le cas d’un endomorphisme, cela implique : Im ( f ) = E, puis f
surjective, puis f bijective. Dans le cas général, si dim (E) = dim (F),
cela implique Im ( f ) = F, f surjective, f bijective.
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