Partie 2 – Algèbre linéaire
Mais attention, ceci est valable uniquement si f est bijective.
Dans un contexte différent (si f est une fonction de R dans R), f
n
désigne la fonction x → ( f (x))
n . Mais aucune ambiguïté n’est possible, le produit de deux vecteurs n’étant pas une opération définie.
4. Noyau et image d’une application linéaire
4.1 Définitions, propriétés
Définitions. Soit E, F deux ev de dimension finie, et f : E → F
linéaire.
Le noyau de f est le sous-ensemble de E, noté Ker ( f ), et défini par
Ker ( f ) = {u|u ∈ E ; f (u) = 0 F }
L’image de f est le sous-ensemble de F, noté Im ( f ), et défini par
Im ( f ) = {v|v ∈ F ; ∃u ∈ E, f (u) = v}
u ∈ Ker ( f ) ⇔ f (u) = 0 F . La détermination de Ker ( f ) conduit donc
naturellement à la résolution d’un système linéaire homogène (voir
§ 4.1.3).
Pour la détermination de Im ( f ), voir ci-dessous.
Propriétés
• Ker ( f ) est un sev de E.
• f injective ⇔ Ker ( f ) = {0 E }
• Im ( f ) est un sev de F.
• f surjective ⇔ Im ( f ) = F
• Si
e 1 , . . . , e p
est une base de E, alors la famille
f (e 1 ) , . . . , f
e p
est une famille génératrice de Im ( f ).
• (formule du rang) dim (Ker ( f )) + dim (Im ( f )) = dim (E)
Démontrons les trois premières propriétés :
• Ker ( f ) ⊂ E par définition, et 0 E ∈ Ker ( f ) car f (0 E ) = 0 F .
Si u, u ∈ Ker ( f ) et a ∈ R, alors u + u et a · u ∈ Ker ( f ), car
f
u + u
= f (u) + f
u
= 0 F + 0 F = 0 F ;
f (a · u) = a · f (u) = a · 0 F = 0 F .
• Soit f injective, et u ∈ Ker ( f ). f (u) = f (0 E ) = 0 F , donc u = 0 E , donc
Ker ( f ) = {0 E }.
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