Chapitre 5 – Espaces vectoriels applications linéaires
On a de plus le
Théorème 2
• Si f, g ∈ L (E), alors f ◦ g ∈ L (E, F), et
Mat ( f ◦ g, B) = Mat ( f, B) × Mat (g, B)
• Mat (Id E , B) = I n
• f ∈ L (E, F) est bijective ssi A = Mat ( f, B) est inversible, et on a
alors :
Mat
f
−1 , B
= A
−1
= [Mat ( f, B)]
−1
Remarques
• Ces résultats sont cohérents avec les propriétés des bijections réciproques. Si f : E → E est bijective, on sait que f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = Id E ,
ce qui correspond à, avec A = Mat ( f, B) :
A × A
−1
= A
−1
× A = I n
• Soit Aut (E) l’ensemble des automorphismes de E. On a les propriétés : Id E ∈ Aut (E) ; si f, g ∈ Aut (E), alors f ◦ g ∈ Aut (E), et
( f ◦ g)
−1
= g −1 ◦ f −1 . La composition des automorphismes est associative (( f ◦ (g ◦ h) = ( f ◦ g) ◦ h), mais pas commutative (f ◦ g = g ◦ f en
général). On résume ces propriétés en disant que Aut (E) est un groupe
(non commutatif) pour la composition des applications. Aut (E) est aussi
noté GL (E) (« groupe linéaire de E »).
Une application
Puissance n-ème d’un endomorphisme. Soit f ∈ L (E), et soit p ∈ N ∗ .
On pose
f
p
= f ◦ · · · ◦ f (p termes)
Si f n’est pas l’endomorphisme nul, on pose f
0
= Id E . On a alors :
Mat ( f
p , B) = [Mat ( f, B)]
p
Remarque. Soit A = Mat ( f, B). Si f est bijective (ce qui est équivalent
à A inversible), on peut définir A
k et f
k avec k entier négatif. En effet,
si A est inversible et p ∈ N, alors A
p est inversible, et (A p )
−1
=
A −1 p
(car A
p
×
A −1 p = I n ). En posant
A
−p
= (A
p )
−1
=
A
−1
p ; f
−p
= ( f
p )
−1
=
f
−1
p ,
on a alors, maintenant pour tout p ∈ Z : Mat ( f
p , B) = [Mat ( f, B)]
p .
143