Partie 2 – Algèbre linéaire
3. Espace vectoriel L (E, F), algèbre L (E)
3.1 Espace vectoriel L (E, F)
Théorème 1. Soit E et F deux ev de dimension finie, B une base
de E, C une base de F.
• Alors l’ensemble L (E, F) des applications linéaires de E dans F est
un espace vectoriel pour les opérations f + g et af .
• L’application F définie par
F : L (E, F) → M n,p (R) ; f → A = Mat ( f, B, C)
est un isomorphisme, c’est-à-dire :
– F est une bijection :
∀A ∈ M n,p (R) , ∃f ∈ L (E, F) , f unique, Mat ( f, B, C) = A
– F est linéaire : ∀f, g ∈ L (E, F) , ∀a ∈ R,
Mat ( f + g, B, C) = Mat ( f, B, C) + Mat (g, B, C)
Mat (af , B, C) = a Mat ( f, B, C)
Attention, la matrice associée à une application linéaire n’est pas
unique, elle dépend des bases choisies dans les espaces E et F. Si
E = F = R
n (très fréquent), on donne naturellement la matrice de
f dans la base canonique de R
n , mais il peut exister des bases de R
n
dans la quelle la matrice de f sera plus simple, voir chapitre 6.
3.2 Algèbre L (E)
L’espace vectoriel L (E, E) des endomorphismes de E est noté simplement L (E). Soit B une base de E, de dimension n. D’après ce qui précède :
• ∀f ∈ L(E), ∃A ∈ M n (R), A unique, Mat ( f, B) = A
• ∀f , g ∈ L (E), ∀a ∈ R,
Mat ( f + g, B) = Mat ( f, B) + Mat (g, B)
Mat (af , B) = aMat ( f, B)
142