Chapitre 5 – Espaces vectoriels applications linéaires
• En revenant à la définition, on montre que f : P → f (P) = P + P
est un endomorphisme de R 2 [X], dont la matrice dans la base B est
A =
1 1 0
0 1 2
0 0 1
. Le calcul A
2
−2
1
=
0
0
1
montre que
l’image du polynôme 2 − 2X + X
2 par f est le polynôme X
2 , ce que
confirme le calcul direct.
• Soit g l’endomorphisme de R
3 dont la matrice dans la base canonique
est la matrice A précédente. Le même calcul s’interprète maintenant en
disant que g ((2, −2, 1)) = (0, 0, 1).
• Soit k ∈ R. L’application E → E ; u → k · u est un endomorphisme
dont la matrice est kI n dans toute base de E, mais en dehors de ce cas,
un endomorphisme est représenté par une matrice différente quand on
change de base, voir § 6.1, et l’exemple ci-dessous.
Soit f l’endomorphisme de R
3 dont la matrice dans la base canonique
B = (e 1 , e 2 , e 3 ) est A = Mat ( f, B) =
2 −2 −2
−1
3
1
−1 −1
1
.
Soit B
= (u 1 , u 2 , u 3 ), avec
u 1 = e 1 − e 2 ; u 2 = e 1 + e 3 ; u 3 = e 2 − e 3
B est une base de R
3 , car c’est une famille libre de cardinal 3. On
calcule f (u 1 ) en utilisant Mat ( f, B) × Mat (u 1 , B) = Mat ( f (u 1 ) , B) :
2 −2 −2
−1
3
1
−1 −1
1
1
−1
0
=
4
−4
0
= 4
1
−1
0
Donc f (u 1 ) = (4, −4, 0) = 4u 1 = 4 · u 1 + 0 · u 2 + 0 · u 3
On trouve de même
f (u 2 ) = (0, 0, 0) = 0 · u 1 + 0 · u 2 + 0 · u 3
f (u 3 ) = (0, 2, −2) = 2u 3 = 0 · u 1 + 0 · u 2 + 2 · u 3
Par définition de la matrice de f dans la base B , on a donc :
A
= Mat
f, B
=
4 0 0
0 0 0
0 0 2
= A = Mat ( f, B)
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