Partie 2 – Algèbre linéaire
Avec u = xe 1 + ye 2 + ze 3 , on a X = Mat (u, B) =
x
y
z
.
Y = MX =
1 3 5
2 4 6
x
y
z
=
x + 3y + 5z
2x + 4y + 6z
On a donc f (u) = (x + 3y + 5z, 2x + 4y + 6z), ce que confirme le calcul direct f (u) = x f (e 1 ) + y f (e 2 ) + z f (e 3 ) = . . .
• Soit la forme linéaire f : R
3
→ R, (x, y, z) → x + 2y + 3z.
Avec B = (e 1 , e 2 , e 3 ) base canonique de R
3 , C = (1) base canonique de
R, on a f (e 1 ) = 1, f (e 2 ) = 2, f (e 3 ) = 3, donc
Mat ( f, B, C) =
1 2 3
; f (x ; y ; z) =
1 2 3
x
y
z
en identifiant M 3,1 (R) et R
3 , M 1,1 (R) et R.
Cas des endomorphismes
Dans le cas, le plus fréquent, où f est un endomorphisme de E, on note
simplement Mat ( f, B) au lieu de Mat ( f, B, B). Cette matrice est appelée
matrice de f dans la base B, ou relativement à la base B.
De même, la matrice colonne Mat (u, B) est appelée matrice de u dans la
base B.
Pour f endomorphisme de E, avec B base de E :
Mat ( f (u), B) = Mat ( f, B) × Mat (u, B)
Ainsi, dans toute base B d’un espace vectoriel E de dimension n, on a
Mat (Id E , B) = I n . Si X = Mat (u, B), alors I n X = X, ce qui correspond
bien à Id E (u) = u.
Ne pas confondre le vecteur u ∈ E (qui peut être un polynôme,
une fonction, une matrice. . . ) avec la matrice colonne Mat (u, B)
des coordonnées de u dans la base B, sauf si E est l’espace vectoriel
R
n et B sa base canonique.
• Le polynôme P = a + bX + cX
2 a pour coordonnées (a, b, c) dans
la base canonique B =
1, X, X
2
de R 2 [X], mais n’est pas égal au
vecteur (a, b, c) de R
3 .
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