Chapitre 5 – Espaces vectoriels applications linéaires
2.2 Applications linéaires et matrices
Soit f : E → F linéaire, B une base de E. L’image par f du vecteur u ∈ E est entièrement déterminée par la donnée des images
f (e 1 ) , . . . , f
e p
des vecteurs de la base B.
Plus précisément, le théorème suivant permet de calculer effectivement
sur les applications linéaires :
Théorème. Soit E, F deux ev ; B =
e 1 , . . . , e p
une base de E ;
C =
e
1 , . . . , e
n
une base de F ; f une application linéaire de E
dans F.
Soit :
• Y = Mat ( f (u), C) la matrice colonne des coordonnées de f (u) dans
la base C ;
•M = Mat ( f, B, C) la matrice dont les colonnes successives sont les
coordonnées des vecteurs f (e 1 ) , . . . , f
e p
dans la base C ;
• X = Mat (u, B) la matrice colonne des coordonnées de u dans la
base B.
Alors
Y = MX
En effet, si u =
p
i=1
x i e i , alors
f (u) = f
p
i=1
x i e i
=
p
i=1
x i f (e i ) =
p
i=1
x i
⎛
⎝
n
j=1
a i,j e
j
⎞
⎠
=
n
j=1
p
i=1
a i,j x j
e
j
d’où la conclusion, avec M =
a i,j
1ip
1jn
.
• La matrice de l’application linéaire nulle E → F, u → 0 F , est toujours
la matrice nulle de M n,p (R).
• Soient B = (e 1 , e 2 , e 3 ) et C =
e
1 , e
2
les bases canoniques de R
3 et
R
2 , et f : R
3
→ R
2 linéaire telle que
f (e 1 ) = (1 ; 2) , f (e 2 ) = (3 ; 4) , f (e 3 ) = (5 ; 6) .
f (e 1 ) = 1 · e
1 + 2 · e
2 , . . . donc M = Mat ( f, B, C) =
1 3 5
2 4 6
139