Partie 2 – Algèbre linéaire
2. Applications linéaires
2.1 Définition, exemples
Définitions. Soit E, F deux ev. Une application f : E → F est dite
linéaire ssi :
• ∀u, v ∈ E, f (u + v) = f (u) + f (v) ;
• ∀u ∈ E, ∀a ∈ R, f (a · u) = a · f (u).
Soit f : E → F linéaire.
• Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de E sur F.
• Si F = E, on dit que f : E → E est un endomorphisme de E.
• Si f : E → E est bijective, on dit que f est un automorphisme de E.
• Si F = R, on dit que f : E → R est une forme linéaire.
Pour prouver que f : E → F est linéaire, on utilise la définition.
Pour prouver que f linéaire est : un isomorphisme, il suffit de prouver qu’elle est bijective ; un endomorphisme : f (E) ⊂ E ; un automorphisme : f (E) ⊂ E et f bijective.
Premières propriétés. Pour f : E → F linéaire :
• f (0 E ) = 0 F ;
• ∀u ∈ E, f (−u) = −f (u) ;
• ∀u 1 , . . . , u p ∈ E, f
p
i=1 a i u i
=
p
i=1 a i f (u i )
Cette dernière propriété est une propriété caractéristique des applications
linéaires : f est une application linéaire ssi l’image par f d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images.
Premiers exemples
• L’application nulle E → F, u → 0 F est linéaire.
• L’application identique Id E : E → E, u → u est linéaire. C’est
d’ailleurs un automorphisme de E.
• La transposée d’une matrice carrée (voir § 4.2.1) définit une endomorphisme de M n (R) :
t
M + M
=
t M +
t M
;
t (aM) = a
t M.
• Les applications linéaires de R dans R sont les applications x → ax.
• Les formes linéaires de R
3 dans R sont les applications
(x, y, z) → ax + by + cz
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