Chapitre 5 – Espaces vectoriels applications linéaires
• Les sev de R
3 de dimension 1 sont les Vect(u) = {x · u | x ∈ R}
avec u = 0 (droites vectorielles), les sev de dimension 2 sont les
Vect (u, v) = {x · u + y · v | x, y ∈ R} avec u, v non colinéaires (plans
vectoriels).
• Avec n ∈ N, l’espace vectoriel R n [X] des polynômes de degré n est
de dimension n + 1. B =
1, X, X
2
est la base canonique de R 2 [X], car
pour tout P ∈ R 2 [X], P (X) = a 0 + a 1 X + a 2 X
2 de façon unique.
• Avec n, p ∈ N ∗ , M n,p (R) est un espace vectoriel de dimension np.
M n (R) est de dimension n
2 . La base canonique de M 2 (R) est
1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
• Pour montrer que (u, v, w) est une base de R
3 , la démarche courante,
illustrée par un exemple, est la suivante :
Avec u = (1 ; 1 ; − 1) , v = (−1 ; 1 ; 1) , w = (−1 ; 1 ; 1) :
x·u+y·v+z·w = (0 ; 0 ; 0) ⇔
x − y − z = 0
x + y + z = 0
−x + y + z = 0
⇔ · · · ⇔
x = 0
y = 0
z = 0
La famille (u, v, w) est donc libre, et de cardinal 3 ; R
3 est de dimension 3, il en résulte que (u, v, w) est une base de R
3 .
On utilisera cette méthode quand on n’a aucun renseignement sur
la famille (u, v, w) ; le résultat peut provenir d’autres considérations
(matrices inversibles, théorie du changement de base, endomorphismes
diagonalisables, voir plus loin).
• Ne confondez pas dimension et cardinal : dans un espace vectoriel
de dimension n, toutes les bases ont le même cardinal, mais ne parlez
pas de cardinal d’un espace vectoriel, ni de dimension d’une base.
• Dans un ev E de dimension n, une famille libre a au plus n éléments. Si
elle a moins de n éléments, on peut la compléter de façon à obtenir une
base (théorème de la base incomplète). Si elle a exactement n éléments,
c’est une base de E.
• Dans un ev E de dimension n, une famille génératrice a au moins n
éléments. Si elle a plus de n éléments, on peut en extraire une sousfamille libre de cardinal n (ou de cardinal maximal si n n’est pas connu),
qui est alors une base de E. Si elle a exactement n éléments, c’est une
base de E.
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• Les sev de R
3 de dimension 1 sont les Vect(u) = {x · u | x ∈ R}
avec u = 0 (droites vectorielles), les sev de dimension 2 sont les
Vect (u, v) = {x · u + y · v | x, y ∈ R} avec u, v non colinéaires (plans
vectoriels).
• Avec n ∈ N, l’espace vectoriel R n [X] des polynômes de degré n est
de dimension n + 1. B =
1, X, X
2
est la base canonique de R 2 [X], car
pour tout P ∈ R 2 [X], P (X) = a 0 + a 1 X + a 2 X
2 de façon unique.
• Avec n, p ∈ N ∗ , M n,p (R) est un espace vectoriel de dimension np.
M n (R) est de dimension n
2 . La base canonique de M 2 (R) est
1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
• Pour montrer que (u, v, w) est une base de R
3 , la démarche courante,
illustrée par un exemple, est la suivante :
Avec u = (1 ; 1 ; − 1) , v = (−1 ; 1 ; 1) , w = (−1 ; 1 ; 1) :
x·u+y·v+z·w = (0 ; 0 ; 0) ⇔
x − y − z = 0
x + y + z = 0
−x + y + z = 0
⇔ · · · ⇔
x = 0
y = 0
z = 0
La famille (u, v, w) est donc libre, et de cardinal 3 ; R
3 est de dimension 3, il en résulte que (u, v, w) est une base de R
3 .
On utilisera cette méthode quand on n’a aucun renseignement sur
la famille (u, v, w) ; le résultat peut provenir d’autres considérations
(matrices inversibles, théorie du changement de base, endomorphismes
diagonalisables, voir plus loin).
• Ne confondez pas dimension et cardinal : dans un espace vectoriel
de dimension n, toutes les bases ont le même cardinal, mais ne parlez
pas de cardinal d’un espace vectoriel, ni de dimension d’une base.
• Dans un ev E de dimension n, une famille libre a au plus n éléments. Si
elle a moins de n éléments, on peut la compléter de façon à obtenir une
base (théorème de la base incomplète). Si elle a exactement n éléments,
c’est une base de E.
• Dans un ev E de dimension n, une famille génératrice a au moins n
éléments. Si elle a plus de n éléments, on peut en extraire une sousfamille libre de cardinal n (ou de cardinal maximal si n n’est pas connu),
qui est alors une base de E. Si elle a exactement n éléments, c’est une
base de E.
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