Partie 2 – Algèbre linéaire
B est une famille libre, de cardinal 2, donc B est une base de R
2 .
• Soit F =
(x ; y ; z) ∈ R
3
|x − y + z = 0
.
u = (x ; y ; z) ∈ F ⇔ x = y − z ⇔ u = (y − z ; y ; z) ⇔ u = yu 1 + zu 2 ,
avec u 1 = (1 ; 1 ; 0) , u 2 = (−1 ; 0 ; 1).
F est donc le sous-espace vectoriel de R
2 engendré par la famille de
vecteurs B = (u 1 ; u 2 ) ; donc F est un espace vectoriel, dont une
famille génératrice est B. Comme cette famille est libre, B est une base
de l’espace vectoriel F (qui est donc de dimension 2).
Quand une famille est libre, on dit que les vecteurs qui la composent
sont linéairement indépendants. Une famille liée est une famille non
libre. À cause du théorème de la dimension, il est important de reconnaître les familles libres. Dans ce sens on a :
• (u) est une famille libre ssi u = 0 E .
• Les vecteurs u, v de l’ev E sont dits colinéaires ssi u = 0 E ou v = lu,
avec l ∈ R. (u, v) est une famille libre ssi u et v ne sont pas colinéaires.
Soient u = (2 ; − 1 ; 3) , v = (−4 ; 2 ; − 6) , w = (−4 ; 2 ; 6). u, v sont
colinéaires (v = −2u), ils ne forment donc pas une famille libre. (u, w)
et (v, w) sont des familles libres.
• Soient F = (u, v, w) une famille de trois vecteurs. Si deux d’entre eux
sont colinéaires, alors la famille F est liée, mais la réciproque est fausse.
u = (1 ; 0 ; − 1) , v = (2 ; 3 ; 5) , w = (−1 ; 0 ; 1) : La famille F est liée
car les vecteurs u et w sont colinéaires.
u = (1 ; 1 ; − 1) , v = (2 ; − 1 ; 2) , w = (3 ; 0 ; 1). F est une famille
liée car u + v − w = 0, alors que les vecteurs u, v, w ne sont pas deux à
deux colinéaires.
Pour montrer qu’une famille de plus de deux vecteurs est libre, on sera
amené (très souvent) à résoudre le système linéaire correspondant, qui
est un système homogène : la famille est libre ssi le système admet uniquement la solution nulle.
Exemples de bases et de dimensions
• Avec n ∈ N ∗ , R
n est un espace vectoriel de dimension n. Par exemple,
R
3 est de dimension 3. Soit B = (e 1 , e 2 , e 3 ), avec
e 1 = (1 ; 0 ; 0) , e 2 = (0 ; 1 ; 0) , e 3 = (0 ; 0 ; 1)
B est une base de R
3 , appelée la base canonique de R
3 .
• L’espace vectoriel {0} n’a pas de base, il est de dimension 0.
• Soit E un ev dimension n. Le seul sev de E de dimension 0 est {0 E },
le seul sev de dimension n est E.
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B est une famille libre, de cardinal 2, donc B est une base de R
2 .
• Soit F =
(x ; y ; z) ∈ R
3
|x − y + z = 0
.
u = (x ; y ; z) ∈ F ⇔ x = y − z ⇔ u = (y − z ; y ; z) ⇔ u = yu 1 + zu 2 ,
avec u 1 = (1 ; 1 ; 0) , u 2 = (−1 ; 0 ; 1).
F est donc le sous-espace vectoriel de R
2 engendré par la famille de
vecteurs B = (u 1 ; u 2 ) ; donc F est un espace vectoriel, dont une
famille génératrice est B. Comme cette famille est libre, B est une base
de l’espace vectoriel F (qui est donc de dimension 2).
Quand une famille est libre, on dit que les vecteurs qui la composent
sont linéairement indépendants. Une famille liée est une famille non
libre. À cause du théorème de la dimension, il est important de reconnaître les familles libres. Dans ce sens on a :
• (u) est une famille libre ssi u = 0 E .
• Les vecteurs u, v de l’ev E sont dits colinéaires ssi u = 0 E ou v = lu,
avec l ∈ R. (u, v) est une famille libre ssi u et v ne sont pas colinéaires.
Soient u = (2 ; − 1 ; 3) , v = (−4 ; 2 ; − 6) , w = (−4 ; 2 ; 6). u, v sont
colinéaires (v = −2u), ils ne forment donc pas une famille libre. (u, w)
et (v, w) sont des familles libres.
• Soient F = (u, v, w) une famille de trois vecteurs. Si deux d’entre eux
sont colinéaires, alors la famille F est liée, mais la réciproque est fausse.
u = (1 ; 0 ; − 1) , v = (2 ; 3 ; 5) , w = (−1 ; 0 ; 1) : La famille F est liée
car les vecteurs u et w sont colinéaires.
u = (1 ; 1 ; − 1) , v = (2 ; − 1 ; 2) , w = (3 ; 0 ; 1). F est une famille
liée car u + v − w = 0, alors que les vecteurs u, v, w ne sont pas deux à
deux colinéaires.
Pour montrer qu’une famille de plus de deux vecteurs est libre, on sera
amené (très souvent) à résoudre le système linéaire correspondant, qui
est un système homogène : la famille est libre ssi le système admet uniquement la solution nulle.
Exemples de bases et de dimensions
• Avec n ∈ N ∗ , R
n est un espace vectoriel de dimension n. Par exemple,
R
3 est de dimension 3. Soit B = (e 1 , e 2 , e 3 ), avec
e 1 = (1 ; 0 ; 0) , e 2 = (0 ; 1 ; 0) , e 3 = (0 ; 0 ; 1)
B est une base de R
3 , appelée la base canonique de R
3 .
• L’espace vectoriel {0} n’a pas de base, il est de dimension 0.
• Soit E un ev dimension n. Le seul sev de E de dimension 0 est {0 E },
le seul sev de dimension n est E.
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