Chapitre 5 – Espaces vectoriels applications linéaires
1.3 Familles libres, génératrices, bases
Définitions. Soit p ∈ N ∗ , E un ev et F =
u 1 , . . . , u p
une famille de
vecteurs de E. On dit que la famille F est :
• génératrice de E ssi tout vecteur de E est combinaison linéaire des
éléments de F :
∀u ∈ E, ∃
a 1 , . . . , a p
∈ R
p , u =
p
i=1
a i u i
On dit aussi que F engendre E ;
• libre ssi le vecteur nul 0 E est combinaison linéaire des éléments de F
de façon unique :
a 1 u 1 + · · · + a p u p = 0 E ⇒ a 1 = · · · = a p = 0
• une base de E ssi tout vecteur de E est combinaison linéaire des
éléments de F de façon unique :
∀u ∈ E, ∃
a 1 , . . . , a p
∈ R
p ,
a 1 , . . . , a p
unique, u =
p
i=1
a i u i
Les réels a 1 , . . . , a p sont alors les coordonnées du vecteur u dans la
base F, et on dit que E est de dimension finie.
Théorème de la dimension. Dans un espace vectoriel de dimension finie E, toutes les bases ont le même nombre d’éléments. Ce
nombre noté dim (E) est appelé la dimension de E.
Soit F une famille d’éléments de E de dimension finie n. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
• F est une base de E ;
• F est libre et de cardinal n ;
• F est génératrice de E et de cardinal n ;
• F est libre et génératrice de E.
On utilise ce théorème principalement pour montrer qu’une famille
F est une base de E. On utilisera surtout (avec E de dimension n) :
libre et de cardinal n ⇒ base
libre et génératrice de E ⇒ base
• ((1 ; 0) , (0 ; 1)) est une base de R
2 , qui est donc de dimension 2 (voir
plus loin). Soit B = (u 1 , u 2 ), avec u 1 = (2 ; − 1) , u 2 = (1 ; 2).
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