Partie 2 – Algèbre linéaire
• L’ensemble G = {u n | ∀n ∈ N, u n+2 = −2u n+1 + 3u n } est un sev de
l’ev R
N des suites numériques, en effet :
– G ⊂ R
N ;
– la suite nulle (∀n ∈ N, u n = 0) appartient à G ;
– si (u n ) , (v n ) sont deux suites appartenant à G et a un nombre réel,
alors (u n ) + (v n ) = (u n + v n ) et a · (u n ) = (au n ) appartiennent à G. En
effet, pour tout n de N :
u n+2 + v n+2 = −2u n+1 + 3u n + (−2v n+1 + 3v n )
= −2 (u n+1 + v n+1 ) + (u n + v n )
au n+2 = a (−2u n+1 + 3u n ) = −2 (au n+1 ) + 3 (au n )
Notion de combinaison linéaire. Soient u 1 , . . . , u p des éléments de
l’ev E, et a 1 , a 2 , . . . , a p des nombres réels. Le vecteur
p
i=1
a i u i = a 1 u 1 + · · · + a p u p
est une combinaison linéaire des vecteurs u 1 , . . . , u p .
L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs fixés
u 1 , . . . , u p de E est un sev de E, appelé sous-espace vectoriel
engendré par u 1 , . . . , u p , et noté Vect
u 1 , . . . , u p
:
Vect
u 1 , . . . , u p
=
u ∈ E | ∃
a 1 , . . . , a p
∈ R
p , u =
p
i=1
a i u i
• On a Vect (0 E ) = {0 E }.
• F =
a b
b a
; a, b ∈ R
est un sev de M 2 (R), donc un ev, car
F = Vect
1 0
0 1
,
0 1
1 0
Notez que les vecteurs u 1 , . . . , u p appartiennent à Vect
u 1 , . . . , u p
:
u 1 = 1 · u 1 + 0 · u 2 + · · · + 0 · u p par exemple.
0 E appartient bien sûr à Vect
u 1 , . . . , u p
: 0 E = 0 · u 1 + · · · + 0 · u p
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